4-1泊松过程的定义

增量N (t1 ) − N (t 0 ), N (t 2 ) − N (t1 ),", N (t n ) − N (t n−1 )
相互独立（增量独立性）；
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定义2 如果取非负整数值得计数过程{N(t),t≥0}满足下列 条件： a) N(0)＝0； b) 具有平稳性独立增量； c) P{N(h)=1}＝λh+0(h)； d) P{N(h)≥2}＝0(h) 则称{N(t),t≥0}为参数(或平均率、强度)为λ的(齐次)泊 松过程。 例1 考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼唤.令X(t)表 示电话交换台在(0,t]内收到的呼唤次数,则{X(t),t≥0}满足定义3 的条件, 故{X(t), t≥0}是一个泊松过程. 例2 考虑到某车站售票窗口购买车票的旅客,若记X(t)为在时间 [0,t]内到达售票窗口的旅客数,则{X(t),t≥0}为一泊松过程
( λ h )k − λh P{N(h ) ≥ 2} = ∑ e k! k=2
＝λh[1-λh+o(h)]＝λh+o(h) 即c)。 ∞
⎡ (λh )2 ⎤ =⎢ + o(h )⎥[1 − λh + o(h )] = o(h ) ⎣ 2! ⎦
即d)。
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2⇒1：条件1)与a)相同。条件2)由b)直接得到。只要证
一、预备知识 二、泊松过程的定义 三、数字特征与特征函数 四、泊松过程的均方微积分
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1
一、预备知识
1 随机点过程
一类随机现象，它们发生的地点、时间以及相联系 的某种属性，常归结为某一空间E中的点的随机发 生或随机到达情况。
例，某电话交换台在一天内收到用户的呼唤情况，令 X(n)为第n次呼唤发生的时间，则X(n)是一随机变 量，视作为一随机质点。因而{X(n) ,n=1,2…}构成一 随机过程，这样的随机过程我们称之为随机点过程， 或称为随机质点流。
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(3) P { N (12) = 9 N (5) = 4} = P { N (12) − N (5) = 5 N (5) = 4}
= P { N (12) − N (5) = 5} = (7λ )5 e −7 λ 5!
(4) P { N (5) = 4 N (12) = 9}
= P { N (5) = 4, N (12) = 9} P { N (12) = 9}
DN (t) = D[N(t)] = λt
3. 泊松过程的均方值函数
ψ
2 2 2 N (t ) = E[N (t )] = DN (t ) + mN (t ) =
λt + (λt)
2
20
4. 泊松过程的自相关函数
R N (t1 , t 2 ) = E[ N (t1 ) N (t 2 )] = λ min(t1 , t 2 ) + λ 2 t1t 2
z
4
z
独立增量计数过程 对于t1< t2 < … < tn，N(t2) - N(t1), N(t3) -N(t2), …, N(tn)-N(tn-1) 独立 平稳增量计数过程 在(t, t+s]内(s>0)，事件A发生的次数 N(t+s) -N(t)仅与时间间隔s有关，而与初 始时刻t无关
z
5
二、 泊松过程的定义
s s P ( N ( s ) = k | N ( t ) = n ) = C nk ( ) k (1 − ) n − k , t t
0≤k≤n
证明：
P ( N ( s ) = k | N (t ) = n ) =
P ( N ( s ) = k , N (t ) = n ) P ( N (t ) = n )
间成正比，而在很短的时间内出现的质点数不少 于2个的概率是关于时间的高阶无穷小，这与实际 情况是相吻合的，即在足够短的时间内，同时出 现2个以上质点的事件应视为小概率事件。
9
定理 泊松过程的定义1与定义1是等价的。 证明 1⇒2：条件a)与1)相同。条件b)可由2)和3) 直接得到。 λ h −λh e P{N(h)=1}＝P{N(h)-N(0)=1}＝ 1!
8
c) P{N(h)=1}＝λh+0(h)； d) P{N(h)≥2}＝0(h）
对于足够小的时间 h ,有
P( N (h) = 0) = 1 − λ h + o(h)
P( N (h) ≥ 2) = o(h)
P ( N ( h ) = 1) = λ h + o ( h )
表明在足够小的时间内出现一个质点的概率与时
k
k
= ∑ P{N(t) = j}P{N(h) = k − j}
= ∑ p j(t)p k − j(h) = p k (t)p 0(h) + p k −1(t)p1(h) + ∑ p j(t)p k − j(h)
j= 0 j= 0
j= 0 k
k −2
＝pk(t)[1-λh+o(h)]+pk-1(t)[λh+o(h)]+o(h)，
P ( N ( t1 ) = m , N ( t 2 ) = n + m ) = e − λ t 2 λ m + n
( t 2 − t1 ) n t1m m !n !
证明 : P { N (t1 ) = m, N (t2 ) = m + n} = P { N (t1 ) = m} ⋅ P { N (t2 − t1 ) = n}
= P { N (5) = 4} P { N (12) − N (5) = 5} P { N (12) = 9}
(5λ ) 4 e −5λ 4!(7λ )5 e −7 λ 5! 4 5 C = = 9 12 (12λ )9 e −12 λ 9!
( )(
4
1− 5 12
)
9−4
.
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例；设 {N(t),t≥0}为参数为λ的(齐次)泊松过程。证明，对于0<s<t
p k (t + h ) − p k (t ) o(h ) = − λ p k ( t ) + λ p k −1 ( t ) + , h h ⎧p k ' ( t ) = − λ p k ( t ) + λ p k − 1 ( t ) 令h → 0得， ,(k = 0,1,2, ") ⎨ ⎩p k (0) = P{N(0) = k } = 0
则称{N(t),t≥0}为参数(或平均率、强度)为λ的(齐次) 泊松过程。
6
具有平稳性独立增量——————
（1）对任意的s≥t≥0, ∆t >0, 增量N (t+ ∆t, s+ ∆t) 与N (t, s)具有相同的分布函数（增量平稳性或齐次 性）； （2）对任意的正整数n，任意的非负实数， 0 ≤ t0 ≤ t1 <"≤ tn
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− λt ⎧ p ' ( t ) p ( t ) e = − λ + λ k=1时, 1 1 ⎨ ⎩p 1 ( 0 ) = 0
解得：p1(t)＝λte-λt，所以k=1时结论成立。
( λ t )k −1 − λt e 。 假设k-1时结论成立， p k −1 (t ) = (k − 1)! k ⎧p k ' ( t ) = − λ p k ( t ) + λ p k − 1 ( t ) ( t ) λ 解 ⎨ , p k (t ) = e − λt。 得 k! ⎩p k ( 0 ) = 0
=
P ( N (t ) − N ( s ) = n − k ) P( N ( s ) = k ) P( N (t ) = n)
(t − s)n−k λn−k −λ(t−s) P(N(t) − N(s) = n − k) = e (n − k)!
(t)n λn −λt P(N(t) = n) = e (n)!
定义1 如果取非负整数值的计数过程{N(t),t≥0}满足： 1) N(0)＝0； 2) 具有平稳性独立增量； 3) 对任意0≤s<t,N(t)-N(s)服从参数为λ(t-s)泊松分 布， k
[λ (t − s )] − λ ( t − s ) P{N(t)-N(s) = k} = e , k = 0,1,2, " k!
结论成立。 由归纳法知，对一切k=0,1,2,…，结论成立。 ( λ t )k − λt 得证
P[N(t ) = k ] =
再由平稳独立增量性质，对一切0≤s<t, 得出3)。■
k!
e
, k = 0,1,2, "。
[λ (t − s )]k − λ ( t − s ) P[N(t ) − N(s ) = k ] = P[N(t − s ) = k ] = e , k = 0,1,2, "。 k!
(λ t1 ) − λ t1 [λ ( t2 − t1 )] − λ (t2 −t1 ) = e ⋅ e m! n!
m n
= e
− λ t2
λ
m +n
( t 2 − t1 ) t m !n !
n
m 1
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3、 泊松过程的样本函数
泊松过程的样本函数是一条阶梯曲线，若用时刻ti表示 第i个质点（如到达的顾客，出现的呼叫，误码，到达 计数器的α粒子等）出现的时间，那么在时刻ti，阶梯 曲线上跳一个单位；而在任何一个有限的区间[0, t)内 这种跳跃的次数是有限的。
解： (1) P { N ( 5 ) = 4} = (5λ ) 4 e −5λ 4!
(2) P { N ( 5 ) = 4, N (7.5) = 6, N (12) = 9} = P { N ( 5 ) = 4, N (7.5) − N (5) = 2, N (12) − N (7.5) = 3}
= [(5λ ) 4 e −5λ 4!][(2.5λ ) 2 e −2.5λ 2!][(4.5λ )3 e −4.5λ 3!]
明：N(t)(t≥0)服从参数为λt泊松分布。
设pk(t)＝P{N(t)=k}，利用归纳法证明： ( λ t )k − λt p k (t ) = e , k = 0,1,2, " k! (1)k=0，p0(t+h)＝P{N(t+h)=0} ＝P{N(t)=0,N(t+h)-N(t)=0} ＝P{N(t)=0}P{N(t+h)-N(t)=0} ＝p0(t)[1-λh+o(h)] 因为
3
2 计数过程
随机过程{N(t)，t ≥0 }是计数过程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生的事件A的总 数，且N(t)满足条件 (1) N(t) ≥0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) ≤ N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。
2
z
z z z z z z z
ຫໍສະໝຸດ Baidu
一般说来，随机质点或事件的出现或到达情况形成一个随机 质点流，记X (n)为第n个质点或事件出现或到达的时间,则{X (n) ,n=1,2…}是一个随机点过程，通常称在单位时间内平 均出现的质点的个数为随机流的强度，记为λ，即称此随机 点过程是强度为λ的随机流。 z 随机质点流示例 商店接待的顾客流 等候公共汽车的乘客流 要求在机场降落的飞机流 经过天空等区域的流星流 纺纱机上纱线断头形成的断头流 放射性物质不断放射出的质点形成的质点流 数字通信中已编码信号的误码流
⎧p 0 ' ( t ) = − λ p 0 ( t ) 令h → 0得， ⎨ ⎩p 0 (0) = P{N(0) = 0} = 1
解得：p0(t)＝e-λt。
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(2)k≥1
pk(t+h)＝P{N(t+h)=k}
= ∑ P{N(t) = j, N(t + h) − N(t) = k − j}
j= 0
N (t)
0
t1
t2
t3
t4
t
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三、泊松过程的数字特征与特征函数 1. 泊松过程的均值函数
mN (t) = E[N (t)] = λt
注:泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]= λt. 所以： λ=E[X(t)]/t λ表示单位时间内事件A发生的平均个数, 故称λ为此过程的速率或强度
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2. 泊松过程的方差函数
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例：设{N (t ), t ≥ 0}服从强度为λ 的泊松过程，求 (1) P{N (5) = 4}; (2) P{N (5) = 4, N (7.5) = 6, N (12) = 9}; (3) P{N (12) = 9 N (5) = 4}; (4) P{N (5) = 4 N (12) = 9};
所以：
( s)k λ k − λ s P( N ( s) = k ) = e (k )!
s k s n−k P(N(s) = k | N(t) = n) = C ( ) (1− ) , 0 ≤ k ≤ n t t
k n
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例；设 {N(t),t≥0}为参数为λ的(齐次)泊松过程。证明，对于0<t1 <t2