3线性变换及其矩阵表示

例7 在线性空间R[ x ]n中, 定义变换
d ( f ( x )) f ( x ), f ( x ) R[ x ]n dx 则由导数性质可以证明 ,是 R[ x ]n的一个线性变 换.这个变换也称为微分变 换.
取 R[ x ]n的基1, x , x 2 ,, x n1 , 则有
y1 y2 yn
x1 x2 A xn
定理 线性变换的矩阵表示式
T , 都可用关系式 R 中任何线性变换 T ( x ) Ax ( x Rn ) 表示, 其中 A (T (e1), T (e 2 ),, T (e n ))
3 若 k11 k2 2 km m , 则
T k1T1 k2T 2 kmT m .
4 线性变换T的象集 T Vn 是一个线性空间， 称为线性变换T的象空间。
4 线性变换T的象集 T（Vn）是一个线性空间，称为
线性变换T的象空间。
证明 设 1 , 2 T Vn ,
1 1 1 ( 1) 1 , ( 2 ) 1 , ( 3 ) 0 , 0 0 0
故在基 1 , 2 , 3 下的矩阵为 1 1 1 A 1 1 0 0 0 0
线性变换的定义
设 Vn 到 Vm 的变换 T 称为线性的， 如果对 任意数 k 及 Vn 中任意向量 , ，恒有
T ( ) T T ,
的原像。
T (k ) kT .
记 T V m ，则称 为 在 T 下的像， 称为 特别，当 T 是 Vn 到自身的一个线性变换， 则称 T 是 Vn 的线性变换。
T (kx) A(kx) kAx kT ( x)
。
线性变换 T ( x) Ax也称为矩阵变换。 A称为线性变换T的标准矩阵(Standard matrix)。
二、线性变换的性质
1 T 0 0, T T ;
2 若 1 , 2 ,, m 线性相关, 则T 1 , T 2 ,, T m 亦线性相关.
此公式在工程和物理中被称为 叠加原理。如果 u1 , u2 ,u p 分别是某个 系统或过程的输入信号向量，则 T (u1 ), T (u2 ),T (up ) 可 分别 视为 该系 统 或过程的输出信号向量。
判断一个系统是否为线性系统的判据 如果系统的输入为线性表达式
y k1u1 k 2 u2 k p u p ，则当系统的输
因此, R3的投影变换在标准基下的矩阵为 1 0 0 A 0 1 0 0 0 0 而对于 R3的另一组基 1 1 1 1 1 , 2 1 , 3 0 , 1 0 0 有
x a
则有 T f x g x f t g t dt
T f x T g x
x x a a
f t dt g t dt
a a
x
x
T kf x kf t dt k f t d t kT f x .
在 Vn 中取定一个基 1 , 2 ,, n ，如果这个基 在变换T下的象为
定义 设T是线性空间 Vn 中的线性变换，
T 1 a11 1 a 21 2 a n1 n , T a a a , 2 12 1 22 2 n2 n T n a1n 1 a 2 n 2 a nn n ,
出 也 满 足 相 同 的 线 性 关 系 T ( y) k1T (u1 ) k2T (u2 ) k pT (up ) 时，该系 统为线性系统。否则，为非线性系统。
例1
判断下面两个从R3到R2变换的类型（线性或非线性）
x1 x2 T1 ( x ) 2 2 , x x1 x1 x2
使 T1 1 , T 2 2 ,
则有 1 , 2 Vn ,
从而 1 2 T1 T 2 T 1 2 T Vn ,
因1 2 Vn ; k1 kT1 T k1 T Vn , 因k1 Vn ,
例8 已知3维线性空间V的线性变换在
基 1 , 2 , 3 下的矩阵为 1 2 3 A 4 5 6 7 8 9 求在基 2 , 3 , 1 下的矩阵.
解 由条件知
1 2 3 ( 1 , 2 , 3) ( 1 , 2 , 3) 4 5 6 7 8 9
则
T 1 2 T1 T 2 0 1 2 ST ; T k1 kT 1 k 0 0 k 1 ST .
若 1 ST , k R, 则
因此ST 对线性运算封闭 , 又 ST Vn ,
故ST 是Vn的子空间.
三、线性变换在给定基下的矩阵
即
( 1) 1 4 2 7 3 ( 2 ) 2 1 5 2 8 3 ( ) 3 6 9 3 1 2 3
( 2 ) 5 2 8 3 2 1 从而有 ( 3 ) 6 2 9 3 3 1 ( ) 4 7 1 2 3 1 因此在基 2 , 3 , 1 下的矩阵为
在给定一个基的条件下 , 线性变换与矩 阵是一一对应的 .
例6
设是 R3的一个变换, 对任意
a1 a1 a1 3 a 2 R , 定义 ( ) a 2 a 2 , 0 a3 a3 这是 R3的一个线性变换 .其几何意义是将向量
例3 线性空间V中的恒等变换（或称单位
变换）I，
是线性变换。
I , V .
证明 设 , V
则有
I I I
I k k kI .
Hale Waihona Puke Baidu
所以恒等变换是线性变换。
例4 线性空间V中的零变换 o 0
是线性变换。
证明 设 , V , 则有
o 0 0 0 o o
o k 0 k 0 ko .
所以零变换是线性变换。
例5 证明实内积空间
( x, y) xT y xi yi , x, y V
由于 T Vn Vn , 由此知它对Vn中的线性运算 封闭， 故它是Vn 的子空间。
5 使T 0的的全体ST Vn , T 0 是Vn 的子空间, ST 称为线性变换T的核.
证明 若 1 , 2 ST , T1 0, T 2 0,
5 8 2 B 6 9 3 4 7 1
定理
设线性变换T 在基e1, e2, …, en下的矩阵是A，向 量β在基e1, e2, …, en下的坐标是( x1, x2, …, xn)，则T (β)在基e1, e2, …, en下的坐标( y1, y2, …, yn) 可以按下 式计算
(1) 0, ( x) 1, ( x2) 2 x,, ( xn1) (n 1) xn2 因此,在基1, x , x2 ,, xn1 下的矩阵为
0 0 A 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 n 1 0 0 0
§3
线性变换及其矩阵表示
一、线性变换的引入
在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不
同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此， 为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够
从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。 事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到这种 转换。当我们欲将一幅图像变换为另一幅图像时，通 常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数就能够 将图像的坐标和坐标改变尺度。根据和大于1还是小 于1，图像就能够被放大或者缩小。
i 1 n
是一种将笛卡儿积
V V {( x, y) : x, y V }
变换到实数域 R上的线性变换。
例6
mn A F 给定 ， 定义 Vn 到 V m 的变换 T 为
x F y Ax F ,
n m
Amn
易证T是线性变换.
T ( x1 x2 ) A( x1 x2 ) Ax1 Ax2 T ( x1 ) T ( x2 )

a1n a2 n . ann
那末，A就称为线性变换T在基 1 , 2 , , n 下的 矩阵。
显然, 矩阵A由基的象T ( 1),, T ( n )唯 一确定.
在V n中取定一个基后 ,由线性变换T可 唯一地确定一个矩阵 A,由一个矩阵A也可 唯一地确定一个线性变 换T .
T (k1α k2 β) k1T (α) k2T ( β)
n u , u , u V 更一般地，若 1 2 ，反 p
复使用上面公式可得
T (k1u1 k2 u2 k p u p ) k1T (u1 ) k2T (u2 ) k pT (u p )
记T 1 , 2 ,, n T 1 ,T 2 ,,T n ,
上式可表示为
T 1 , 2 ,, n 1 , 2 ,, n A
a11 a12 a21 a22 其中 A a n1 a n 2
投影到XOY平面上.因此也称这个线性变换 为
投影变换.
1 0 0 3 若取 R 的标准基 1 0 , 2 1 , 3 0 , 0 0 1
1 1 0 0 则有 ( 1) 0 0 , ( 2 ) 1 1 , 0 0 0 0 0 0 ( 3 ) 0 0 , 1 0
x1 x2 T2 ( x ) , x x1 x 2 x3 x2
x2
x3
x3
T
T
例2 定义在闭区间上的全体连续函数组成
实数域上的一个线性空间V，在这个空间中变换
T f x f t dt
a
x
是一个线性变换.
证明
设
f x V , g x V .