高中数学课件 第三章 第1节《任意角和弧度制及任意角的三角函数》

已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长l.
(1)若α=60°,R=10cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形周长为20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个 扇形的面积最大?
[思路点拨]
[课堂笔记]
(2)由题意得l＋2R＝20，
∴l＝20－2R(0＜R＜10).
＝(10－R)· R＝－R2＋10R.
[考题印证]
(2008· 全国卷Ⅱ)若sinα＜0且tanα＞0，则α是 A.第一象限角 C.第三象限角 【解析】 选C B.第二象限角 D.第四象限角 由sinα＜0得α在三、四象限. ( )
由tanα＞0得α在一、三象限；
故α在第三象限.
[自主体验]
(2009· 北京高考)“α＝
( )
＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝
合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}.
[思考探究]
(1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？
(2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角 是锐角吗？ 提示：(1)终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数 倍.
(2)第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象
限角，但它们不是锐角. 小于90°的角也不一定是锐角，如0°，－30°，都不是锐 角.
2.弧度制
3.任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么
定义
x 叫做α的余 的正弦， 弦，记作cosα 记做sinα
y 叫做α
叫做α的正
切，记作tanα
三角函数 各 象
正弦 ＋ ＋ － －
余弦
＋ － － ＋
正切 ＋ － ＋ －
Ⅰ Ⅱ
限 Ⅲ
符 Ⅳ 号 口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数
正弦
余弦
正切
三角函
数线 有向线段 MP 为正弦线
有向线段 OM 有向线段 AT 为正切线 为余弦线
1.与610°角终边相同的角可表示为 A.k· 360°＋230°，k∈Z C.k· 360°＋70°，k∈Z
(
)
B.k· 360°＋250°，k∈Z D.k· 360°＋270°，k∈Z
∴
答案：2
＝1＋1＝2.
5.在单位圆中，一条弦AB的长度为 圆心角α是 rad.
，则该弦AB所对的
解析：由已知R＝1，
答案：
6.已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα， tanα的值.
解：∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)， 则x＝4t，y＝－3t，
1.了解任意角的概念.
2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.任意角
(1)角的分类. 按旋转方向分为 正角 、 负角 、 零角 .
(2)象限角.
(3)象限界角
(4)终边相同的角. 所有与角α终边相同的角(连同α在内).可构成一个集
(
)
的符号是什么？
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)因为sinθcosθ＞0，所以角θ在第一或第三
象限，又tanθcosθ＜0，则角θ在第三或第四象限，故角θ
的终边落在第三象限.
[答案] C
本节是三角函数的基础，高考偶尔以选择题的
形式进行考查，考点主要集中在三角函数在各象限 的符号问题，以及终边相同角的三角函数问题，纵 观近三年高考题，08年全国卷Ⅱ第1题和09年北京 卷第5题都能很好的代表本节高考的考向.
A.第一象限 C.第三象限 ＜0. ∴θ 为第四象限角. B.第二象限 D.第四象限
)
解析：∵sin2θ ＝2sinθ · cosθ ＜0，而cosθ ＞0.∴sinθ
答案：D
2.“tanα＝1”是“α＝
”的
(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：
(1)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，
k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π] 范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限. (2)角度制和弧度制不能混用，如α＝2kπ＋30°(k∈Z)， β＝k· 360°＋ (k∈Z)都是不正确的.
(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落 在何处？ (2)写出终边在直线y＝ (3)若角θ的终边与 上的角的集合；
象限角.
∴α为第一或第三象限角. 答案：一或三
1.角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负 半轴上的角的集合可以表为 ，
也可以表示为
.
2.
α
角所在象限
第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角
第一或 第一或 第二或 第二或 第三象限角 第三角限角 第四象限角 第四象限角
Fra Baidu bibliotek
[特别警示]
(
)
解析：∵cosθ· tanθ＝sinθ＜0，cosθ≠0.
∴θ为第三、四象限角. 答案：C
4.弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为 为 . ， ＝4，
，面积
解析：弧长l＝3π，圆心角α＝ 由弧长公式l＝α· r得r＝ ＝
面积S＝
答案：4 6π
＝6π.
5.若α＝k· 180°＋45°，k∈Z，则α为第 解析：当k＝2n时，α＝n· 360°＋45°， 当k＝(2n＋1)时，α＝n· 360°＋225°，
解析：由于610°＝360°＋250°，所以610°与250°角
的终边相同.
答案：B
2.已知角α的终边经过点(
，－1)，则角α的最小正值是 ( )
解析：∵sinα＝ ∴α＝
＝
，且α的终边在第四象限，
答案：B
3.已知cosθ · tanθ＜0，那么角θ是 A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角
”的
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由α＝ 由cos2α＝ ∴α＝kπ± 由cos2α＝ 答案：A
＋2kπ(k∈Z)可得到cos2α＝ 得2α＝2kπ± (k∈Z). ，不能得到α＝ ＋2kπ(k∈Z). (k∈Z)，
.
1.若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是(
∴当且仅当R＝5时，S有最大值25.
此时 ∴当α＝2 rad时，扇形面积取最大值.
若扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，如何求α？ 解：依题意有 ①代入②得R2－5r＋4＝0， 解之得R＝1或R＝4. 当R＝1 cm时，l＝8 cm，此时α＝8 rad＞2πrad，舍去； 当R＝4 cm时，l＝2 cm，此时α＝ rad.
1.判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限. 2.对于已知三角函数式的符号判断角所在的象限，可先根 据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角 所在的象限.
(1)若sinθ · cosθ ＞0，且tanθ · cosθ ＜0，则角θ
的终边落在
A.第一象限 C.第三象限 (2)若θ 是第二象限角，则 B.第二象限 D.第四象限
上的角是
， ＋kπ，
x上的角的集合为{α|α＝
∴k＝0,1,2，
即在[0,2π)内终边与 相同的角为
在(1)的条件下，判断 解：
为第几象限角？
∴
为第二或第四象限角.
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(弧度)，半径为r，
则l＝|α|· r；S扇形＝
lr＝
|α|r2
[特别警示] 这里给出的弧长、扇形面积公式是在弧度制 下的，使用时切记将圆心角用弧度来表示.
角的终边相同，求在[0,2π)内终边
与
角的终边相同的角.
[思路点拨]
[课堂笔记](1)由α是第三象限的角得
即
∴角－α的终边在第二象限；
.
由
得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z). ∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴.
(2)在(0，π)内终边在直线y＝ ∴终边在直线y＝ k∈Z}. (3) 依题意
答案：B
3.(2010· 西宁模拟)已知锐角α终边上一点A的坐标是 (2sin ,2cos )，则α弧度数是 ( )
解析：点A的坐标是(2sin
,2cos
)，即(
1).
∴sinα＝
∴α＝ .
，又∵α为锐角，
答案：C
4.已知角α的终边落在直线y＝－3x(x＜0)上，则
＝ .
解析：∵角α的终边在直线y＝－3x(x＜0)上， ∴α为第二象限角， ∴sinα＞0，cosα＜0，