1819勒贝格积分概念与性质

∫ ∴ mEn
<
1 n
E
f dx
0 ≤ mE[ f
= ∞]
≤ mEn
<
1 n
∫E
f dx → 0(n → ∞)
所以mE(x || f (x) |= +∞) = 0
4、证明：零集上任意函数都L可积，且积分值等于0
证：设f 为E上任意函数, mE = 0 ∵ mE = 0 ∴ f 必可测，从而f +与f −非负可测
E
0≤ϕ ( x)≤ f ( x)
E
（3） 一般可测函数的勒贝格积分
∫ ∫ 若(L)
E
f
+ (x)dx与(L)
E
f
− (x)dx至少一个有限，(L)∫E
f (x)dx = (L)∫E
∫ f + (x)dx − (L) E
f
− (x)dx
用上述思想、方式引进勒贝格积分的教 材很多。如：
【1】周民强 《实变函数》
∫ ∫ 必有 f + (x)dx = 0, f − (x)dx = 0
E
E
∫ ∫ 若不然，设
f + (x)dx = lim
E
m→∞
E{ f + (x)}m dx = a > 0
由极限的局部保号性，
∫ ∃N ,当m
>
N,有
{f
E
+ (x)}m dx
>
a 2
>0
而0 ≤ { f + (x)}m ≤ m,
∫ 设f ∈ L(E),则∀可测子集A,有 lim f (x)dx = 0 mA→0 A
∫ 亦有 lim f (x) dx = 0 mA→0 A
证：设有界f ∈ L(E)， 则∃M > 0,使得 | f (x) |≤ M , x ∈ E
于是|∫A f (x)dx |≤ ∫A| f (x) | dx ≤ M × mA → 0,当mA → 0时
对∀m,令Em = E ∩ Km 其中Km = {x d (0, x) ≤ m}
则Em的性质:
i)mEm < +∞: mEm ≤ mKm < +∞
ii)Em递增
iii)lim m→+∞
Em
=
E
:
∞
∞
∞
lim
m→+∞
Em
=
∪
m=1
Em
=
∪(E
m=1
∩
Km )
=
E
∩
(∪ m=1
K
m
)
=
E
∫ 利用已有的（2）测度有限集上非负函数的L积分的概念，考虑 f (x)dx Em
【注2】E上非负函数f (x)的L积分∫E f (x)dx存在 ⇔ f (x)在E上L可测
（4）一般可测集上一般函数的勒贝格积分
∀f , f = f + − f −
∫ ∫ 由定义(3)的分析知, f + (x)dx与 f －(x)dx均存在
E
E
⇔ f +与f −在E上均可测 ⇔ f 在E上可测
定义：设f (x)在可测集E上可测,mE ≤ +∞,
其理论基础，是测度有限集上有界函数L可积的两个充要条件
⎧1、有限区间上R可积，必L可积，且积分值相等 ⎪⎪2、积分的绝对连续性 ⎪3、L可积，则函数几乎处处有限 2.L其积它分性独质有的 ⎪⎪⎨⎪⎪54、、几零乎集处上处任相意等函的数函L可数积可，积且性积、分积为分0值相同 ⎪6、可积 ⇔ 绝对可积 ⎪⎪⎩7、比较原则
对任意正整数m，做m截断函数
fm (x)
=
{
f
( x)}m
=
min{
f
(x), m}
=
⎧ ⎨ ⎩
f (x), m,
f (x) < m ,m
f (x) ≥ m
=
1,
2,...
则函数列的{fm (x)}性质:
i) {fm (x)}有界: fm (x) ≤ m,∀m
ii) {fm (x)}关于m递增: f1(x) ≤ f2 (x) ≤ f3(x) ≤
i =1
因 f ∈ R[a,b],所以f 必有界，
则mi
=
inf
[ xi−1 ,xi ]
f
(x)
≤
inf
( xi−1 ,xi ]
f
(x)
=
bi ;
Mi = sup f (x) ≥ sup f (x) = Bi ;
[ xi−1 , xi ]
( xi−1 , xi ]
又Δxi = mEi
所以,相应的大和,小和S (D, f ), s(D, f ), S (T , f ), s(T , f )关系如下
k=1
n
∫ ∑ Ek可测，相互不交， 则 (L) E f (x)dx= k=1ckmEk
∫ 例1：D(x) ∈ L([0,1]),且(L) D(x)dx = 0 [0,1]
若积分值有限，称f (x)在E上
勒贝格可积，记做f ∈ L ( E)
（2） 非负可测函数的Lebesgue积分
∫ ∫ ( L) f ( x)dx = sup {( L) ϕ ( x)dx : ϕ ( x)为 E上 的 简 单 函 数}
iii)
lim
m→∞
fm (x) =
f (x), x ∈ E
事实上,∀x0 ∈ E 若f (x0 ) = +∞, 则对∀m, 有fm (x0 ) = m → +∞=f (x0 )
若f (x0 ) < +∞, 则∃M , 使得f (x0 ) < M 从而m > M 时, fm (x0 ) = f (x0 )
则D : E =
(Ei(1) ∩ E j(2) )为A、B的加细
i=1 j=1
类比定积分 分割的加细
c)可测集E上有界函数 f ( x ) 的小和与大和
m
∪ D :
E
=
i =1
Ei , 令bi
=
inf{ f (x)},
x∈Ei m
Bi = sup{ f (x)}
x∈Ei
m
∑ ∑ s(D) = bimEi , S(D) =
x∈E
∫ 当m > N ,有0 < a < 2
E{ f + (x)}m dx
≤ m × mE = 0, 矛盾，证毕。
此示：任意改变零集上的函数值，不影响函数的可积性与积分值
5、几乎处处相等的函数，其可积性与积分值相同
证：设f = g a.e.于E
→ ∃E0 ⊂ E, mE0 =0, f = g, x ∈ E − E0
1、L可积与R可积的关系
∫ ∫ 定理若f ∈ R[a,b]，则f ∈ L[a,b]，且(L)
b
f (x)dx = (R) f (x)dx
[ a ,b ]
Baidu Nhomakorabea
a
证明∀[a, b]一个分割T : a = x0 , x1,..., xn = b, Δxi = xi − xi−1
∪n
对应着一个可测分划D :[a, b] = Ei , E1 = [a, x1], Ei = (xi−1, xi ], i = 2, 3,…n
∫ 利用已有的（1）测度有限集上有界函数的L积分的概念，考虑 E{ f (x)}mdx
∫则 E{ f (x)}mdx存在 ⇔ { f (x)}m 在E上可测 ⇔ f (x)在E上可测
{ } ∫E{ f (x)}mdx 为关于m的单增的广义数列
∫ 总有 lim m→∞
{
E
f
( x)}m dx
=
A存在,且0
若f ∈ L(E),则f ∈ L(E − E0 ), f ∈ L(E0 ) ⎯零⎯集在⎯上E−任E⎯0意f 函与⎯数g相L⎯等可积⎯→ g ∈ L(E − E0 ), g ∈ L(E0 )
D
D
−
d)
称
inf{S (D, D
f
)}
=
∫
f ( x)dx为 f ( x)在 E上 的 L上 积 分
E
称 sup{s( D, f )} = ∫ f ( x)dx为 f ( x)在 E上 的 L下 积 分
D
E
类比定积分
的Darboux上下积分
e）测度有限集上有界函数的勒贝格积分定义：
−
设mE < +∞, f (x)在E上有界. 若 ∫ E f ( x )dx = ∫ E f ( x )dx = A −
i =1
E = [a,b]的分割：{[xi−1, xi ]| i =1, 2,..., n} 不是可测分划
{{a}, (x1, x2 ],..., (xn−1, b]} 是
∪ ∪ m1
若A : E = Ei(1) ,
m2
B:E =
E (2) i
b) 集合E可测分划的加密（细）：
i =1
i =1
∪ ∪ m1 m2
∑ 使得S(D, f ) − s(D, f ) = ωimEi < ε ,其中ωi = Bi − bi i
（程版108）定理2 设mE < +∞, f (x)在E上有界
f (x) 在 E 上勒贝格可积 ⇔ f (x) 在 E 上勒贝格可测
（2）测度有限集上非负函数的勒贝格积分
设mE < +∞, f (x) ≥ 0，x ∈ E
−
则s(T , f ) ≤ s(D, f ) ≤ ∫ f (x)dx ≤ ∫ f (x)dx ≤ S(D, f ) ≤ S(T , f )
−
[a,b]
[a,b]
−
∫ ∫ 则sup s(T , f ) ≤ f (x)dx ≤ f (x)dx ≤ inf S(T , f )
T
−
[a,b]
[a,b]
T
2、 L积分的绝对连续性
∫ ∫ 若 f + (x)dx与 f －(x)dx至少有一个有限，
E
E
f ∈ L(E) ⇔ f + ∈ L(E )且 f − ∈ L(E)
∫ ∫ ∫ 则有L积分 (L) f (x)dx＝ f + (x)dx − f − (x)dx
E
E
E
若积分值有限，
则称f ∈ L(E)
小结
⎧ 测度有限集上有界函数的勒贝格积分 ⎪⎪测度有限集上非负可测函数的勒贝格积分 ⎨⎪一般可测集上非负可测函数的勒贝格积分 ⎪⎩一般可测集上一般可测函数的勒贝格积分
3、L可积，则函数几乎处处有限
设f ∈ L(E)，则mE(| f (x) |= +∞) = 0
证：
∞
∞
E(| f (x) |= +∞) = ∩ E(| f (x) |> n) = ∩ En
n=1
n=1
∫ ∫ ∫ ∀n,
∫ E f dx = En f dx + E−En f dx ≥ En f dx > n.mEn
∫则 f (x)dx存在 ⇔ Em
f (x)在Em上可测 ⇔ f (x)在E上可测
∫ ∫ 积分列 f (x)dx单增,非负, 从 而 lim f ( x ) d x存 在
Em
m → ∞ Em
∫ ∫ 称 ( L ) f ( x ) d x = lim ( L ) f ( x ) d x
E
m→ ∞
Em
若积分值有限，则称 f ∈ L(E)
≤
A
≤
+∞
∫ ∫ 称 lim m→∞
{
E
f
(x)}mdx
=
A为f
(x)在E上的勒贝格积分，记为
E
f (x)dx＝A
若0 ≤ A< +∞ 称f (x)在E上勒贝格可积
L积分存在 充要条件 是f 可测
（3）一般可测集上非负函数的勒贝格积分
设f (x) ≥ 0, x ∈ E, mE ≤ +∞
对点集E, 用测度有限的一列可测集来逼近,即
二、勒贝格积分性质
⎧线性性——128页定理4（3）138页定理4（2）（3）
1.与R积分相同的 基本性质
⎪ ⎪⎪ ⎨
积分区域有限可加性 ——128页定理4（2）
单调性
——128定理4（1）138定理4（5）
⎪⎪可积性对四则运算封闭——(程其襄版)111页定理3
⎪⎩绝对可积性
?
证明思路： f (x) = f +(x) − f −(x) ←非负 f ←非负有界 f ,mE < +∞
【2】郑维行 王声望
《实变函数与泛函分析概要》（上册）
【3】钱佩玲、柳藩 《实变函数论》
2、勒贝格积分的勒贝格式的建立方式
R积分——积分区间长度有限，被积函数有界
→(1)测度有限集上有界函数的勒贝格积分
→（2）测度有限集上非负函数的勒贝格积分
类比
推广
→ (3)一般可测集上非负函数的勒贝格积分
R积 分
称A为f (x)在E上的L积分，记做（L）∫E f (x)dx = A
因这里： −∞ < A< +∞，所以称f (x)在E上L可积，记做f ∈L(E)
L可积 充要条件
L积分 存在
2）测度有限集上有界函数L可积的两个充要条件：
（程版108）定理1 设E ⊂ Rn可测，mE < +∞, f (x)在E上有界,则 f (x) ∈ L(E) ⇔ ∀ε > 0, ∃E的可测分划D，
→ (4)一般可测集上一般函数的勒贝格积分
（1）测度有限集上有界函数的L积分
1）几个概念：
类比定积分中 [a,b]的 分割
a) 集合E的可测分划：
∪m
设E ⊂ Rn , 若E = Ei，Ei互不相交、可测
i =1
∪m
称{E1, E2 ,..., Em}为E的一个可测分划 或称 Ei为E一个可测分划
实变函数论
第18、19讲
第五章 积 分 理 论
（一）L积分与L可积概念的建立及L积分的基本性质
一、勒贝格积分建立方式简介
1、勒贝格积分的 非勒贝格式的建立方式 2、勒贝格积分的勒贝格式的建立方式
1、非勒贝格式的建立方式
（1）非负简单函数的Lebesgue积分
∪n
设f (x) =ck, x∈Ek,(k=1, ,n)为E= Ek上的简单函数
Bi mEi
类比定积分 的大、小和
§1引理1 ⅰ）E的 可测分划加细，大和不增，小和不减；
设E的两个分划D*比D更细，则sD ≤ sD* ≤ SD* ≤ SD
ii) 对于任意两个分划D*和D，均有sD ≤ SD*
iii) 大和有下界，小和有上界，而且sup{s(D, f )} ≤ inf{S(D, f )}