第7章 梁的弯曲问题(3)-应力分析与强度计算

习题 7－10 图
可以看作是简支梁。试求辅助梁的长度 a。 解： 1．没有辅助梁时
σ max =
2．有辅助梁时
7－11 关于弯曲剪应力公式 τ = FQ S z /(bI z ) 应用于实心截面的条件，有下列论述，试
*
分析哪一种是正确的。 （A）细长梁、横截面保持平面； （B）弯曲正应力公式成立，剪应力沿截面宽度均匀分布； （C）剪应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面； （D）弹性范围加载，横截面保持平面。 正确答案是 B。
10
课
后 答
FP ⎛ a⎞ FPl 3− ⎟ ⎜ 2 ⎝ 2⎠ 4 = = [σ ] 1.30 × W W a⎞ ⎛ 1.30 × ⎜ 3 − ⎟ = 3 2⎠ ⎝ a = 1.384 m
M max ≤ [σ ] , W F × 1m 20 ×103 ×1m = = 0.125 × 10－3 m3＝125cm3 W≥ P 6 [σ ] 160 ×10 Pa
σ max =
ww w
习题 7－7 图
7
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aw .
co
m
习题 7－8
解：1、小车行至梁中间时，梁内弯矩最大 设总载荷为 FP, 这时梁跨度中间截面上弯矩最大
σ max
案
网
解： 1．计算最大弯矩：
课
后 答
M max
3 ql 2 2 ×10 N/m × ( 3m ) = = = 2.25 × 103 N ⋅ m 8 8 2
2．确定最大正应力： 平放：
σ max =
M max 2.25 ×103 N ⋅ m × 6 = hb 2 240 ×10−3 m × 120 × 10−3 m 6
8
ww w
M 1max ≤ [σ ] ， W y1
.k hd
（b）
aw .
危险截面的弯曲截面模量
co
I y1 = 1.10755 ×108 + 2(
75 × 63 + 75 × 6 ×1632 ) = 1.347 ×108 mm 4 12
m
比较式（a）和（b） ，最终的许可载荷取二者中的较小者，即 [FP] = 40.56 kN
40 × 103 N ⋅ m × 153.6 × 10−3 m = 60.2 × 106 Pa=60.2 MPa> [σ ] 1.02 × 108 ×10−12 m 4
m
σ max =
M max 0.5q ≤ [σ ] , ≤ [σ ] W W σ ]W 160 ×106 × 49 ×10−6 [ q≤ = = 15.68 × 103 N/m=15.68kN/m 0.5 0.5 FN 4 FB 4 × 2.25q ≤ [σ ] , = ≤ [σ ] πd 2 πd 2 A = π × 20 ×10-3 ×160 × 106 4 × 2.25
)
2
aw .
= 3.91× 106 Pa=3.91 MPa
= 1.95 ×106 Pa=1.95 MPa
co
m
M max 66mm α= = 0.611 , 3 πD 108mm 4 2× 1−α 32 M 5.268 N ⋅ m = max = = 24.71× 106 Pa=24.71 MPa 3 − 3 2W π 108 × 10 m 2× 1 − 0.6114 32
范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shan’s Education & Teaching Studio
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材料力学习题详细解答
课
后 答
案
网
2006-01-18
ww w
1
.k hd
aw .
(第 7 章)
co
m
教师用书
习题 7－1 习题 7－3 习题 7－5 习题 7－7 习题 7－9 习题 7－11 习题 7－13 习题 7－15 习题 7－17 习题 7－19
习题 7－2 习题 7－4 习题 7－6 习题 7－8 习题 7－10 习题 7－12
后 答
习题 7－21 习题 7－23 习题 7－27 习题 7－29 习题 7－31
网
案
课
习题 7－25
ww w
2
.k hd
习题 7－16 习题 7－18 习题 7－20 习题 7－22 习题 7－24 习题 7－26 习题 7－28 习题 7－30 习题 7－32
后 答
B 点：
案
网
⎛ 150 × 10−3 m ⎞ 1300 N ⋅ m × ⎜ − 20 × 10−3 m ⎟ 2 M y ⎝ ⎠ ＝2.54 × 106 Pa = 2.54 MPa (拉应力) σA = z = 3 -3 -3 Iz 100 × 10 m × 150 × 10 m
(
12
(
12
7－ 2 加热炉炉前机械操作装置如图所示，图中的尺寸单位为 mm。其操作臂由两根无
aw .
习题 7－14
co
m
材料力学习题详细解答之七 第 7 章 梁的强度问题（3）－应力分析与强度计算
7－1 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。图中的尺寸单位为 mm。求：梁的 1－1 截面 上 A、B 两点的正应力。
课
⎛ 150 × 10−3 m ⎞ − 40 × 10−3 m ⎟ 1300 N ⋅ m × ⎜ 2 M y ⎝ ⎠ =1.62 × 106 Pa = 1.62 MPa (压应力) σA = z = 3 -3 -3 Iz 100 ×10 m × 150 × 10 m
M max = 2W
(
)
(
)
(
)
3．比较平放与竖放时的最大正应力：
σ max ( 平放 ) 3.91 ＝ ≈ 2.0 σ max ( 竖放 ) 1.95
7－4
圆截面外伸梁，其外伸部分是空心的，梁的受力与尺寸如图所示。图中尺寸单
位为 mm。已知 FP＝10 kN，q＝5 kN/m，许用应力
[σ ] ＝140
q = pa
FA = FB =
梁内最大弯矩
ql 1 = pal 2 2
1 1 M max = ql 2 = pal 2 8 8
课
后 答
案
网
最大正应力作用点的强度条件
σ max
1 pal 2 M max M max 8 9 pal 2 = = = = ≤ [σ ] 3 2 bh 2 8 W h 2 h⋅h 3 6 6
MPa，试校核梁的强度。
题 7－4 图
σ max ( 实 )＝
案
σ max (空 )＝
所以，梁的强度是安全的。
7－ 5
课
悬臂梁 AB 受力如图所示，其中 FP＝10 kN，M＝70 kN·m，a＝3 m。梁横截
后 答
M max2 = W2
32 × 20 × 103 N ⋅ m = 100.3 ×106 Pa=100.3MPa< [σ ] 4 3 ⎡ ⎛ 100 ⎞ ⎤ π 140 × 10-3 m ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝ 140 ⎠ ⎦ ⎥ ⎣
缝钢管所组成。外伸端装有夹具，夹具与所夹持钢料的总重 FP＝2200 钢管上。求：梁内最大正应力（不考虑钢管自重） 。 解： 1． 计算最大弯矩：
N，平均分配到两根
M max = −2200N × 2395 ×10−3 m= −5.269 × 103 N ⋅ m
2． 确定最大正应力：
σ max =
对于杆
σ max =
q≤
πd 2 × [σ ] 4 × 2.25
(
)
2
= 22.34 × 103 N/m=22.34 kN/m
所以结构的许可载荷为
[ q ] = 15.68kN/m
7－7 图示外伸梁承受集中载荷 FP 作用，尺寸如图所示。已知 FP ＝20 kN，许用应力
[σ ] ＝160 MPa，试选择工字钢的号码。
解：画弯矩图如图所示。 强度计算：对于梁
Mຫໍສະໝຸດ Baidu
max
= 0 .5 q
ww w
习题 7－6 图
6
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－ σ max =
40 × 103 N ⋅ m × 96.4 × 10−3 m = 37.8 ×106 Pa=37.8 MPa 8 4 −12 1.02 ×10 × 10 m
aw .
co
+ σ max =
7 － 9 支承楼板的木梁如图所示，其两端支承可视为简支，楼板受均布面载荷 p = 3.5kN/m2 的作用。已知木梁跨度 l = 6m，梁与梁的间距 a = 1m；木材的 [σ ] = 10MPa，木梁 截面尺寸 b/h = 2/3。试求 b 和 h 各为多少。 解：木梁受力如图所示，其中载荷集度
M 1max =
FP l 4
应用移轴定理确定加固后，横截面对中性轴的惯性矩
W y1 =
I y1 166
= 8.113 × 105 mm 3 = 8.113 × 10−4 m 3
根据中点正应力作用点的强度条件
于是，有
因此解出这时的许可载荷
2、小车行至离两端 1.4 m 处 这时，该处弯矩最大，而且横截面没有加固，所以也可能是危险截面
3
因此解出
9 pal 2 3 9 × 3.5 × 103 × 1× 62 h≥ = = 0.242 m=242 mm 8[σ ] 8 × 10 × 106
b= 2 h = 161 mm 3
9
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习题 7－9 图
.k hd
aw .
co
m
7－10 图示之 AB 为简支梁，当载荷 FP 直接作用在梁的跨度中点时，梁内最大弯曲正 应力超过许用应力 30％。为减小 AB 梁内的最大正应力，在 AB 梁配置一辅助梁 CD，CD 也
－ σ max =
C 右侧截面
所以，梁的强度不安全。
课
后 答
案
许用应力均为
[σ ] ＝160 MPa，试求:结构的许用均布载荷集度 [q ] 。
网
7－6 由 No. 10 号工字钢制成的 ABD 梁，左端 A 处为固定铰链支座，B 点处用铰链与 钢制圆截面杆 BC 连接，BC 杆在 C 处用铰链悬挂。已知圆截面杆直径 d＝20 mm，梁和杆的
最大正应力作用点的强度条件
M 2max ≤ [σ ] ， Wy 2
即
FP ( 8 − 1.4 ) × 1.4 1.155FP 8 = ≤ 100 × 106 −4 Wy 2 6.922 × 10
因此解出这种情形下的许可载荷 3、最终的许可载荷
[ FP ]2 ≤ 59.9 ×103 N=59.9 kN
案
网
所以，选择 No.16 工字钢。
7－8 加固后的吊车主梁如图所示。梁的跨度 l = 8m，许用应力 [σ ] = 100MPa。试分析当 小车行走到什么位置时，梁内弯矩最大，并计算许可载荷（小车对梁的作用可视为集中力） 。
课
后 答
解：
M max = FP ×1m=20 ×103 N ×1m=20 × 103 N ⋅ m
网
M max1 32 × 30.63 ×103 N ⋅ m = = 113.8 ×106 Pa=113.8MPa< [σ ] 3 -3 W1 π 140 ×10 m
(
(
ww w
解：画弯矩图如图所示。 实心部分与空心部分的最大正应力分别为：
)
5
.k hd
)
习题 7－5 图
aw .
co
m
面的形状及尺寸均示于图中(单位为 mm)，C0 为截面形心，截面对中性轴的惯性矩 Iz＝1.02 ×108 mm4，拉伸许用应力
ww w
习题 7－3 图
(
竖放：
σ max =
M max 2.25 × 103 N ⋅ m × 6 = bh 2 120 ×10−3 m × 240 × 10−3 m 6
(
4
.k hd
)
2
2b
7－ 3 图示矩形截面简支梁，承受均布载荷 q 作用。若已知 q＝2 kN/m，l＝3 m，h＝ ＝240 mm。试求：截面竖放(图 c)和横放(图 b)时梁内的最大正应力，并加以比较。
后 答
[ FP ]1 ≤ 40.56 ×103
M 2max =
案
网
FPl FP × 8 4 = 4 ≤ 100 × 106 −4 Wy1 8.113 × 10
N=40.56 kN
（a）
FP (8 − 1.4) × 1.4 8
从型钢表上查得没有加固的横截面的弯曲截面模量
课
Wy1 = 6.922 ×10−4 m3
ww w
2。确定梁的 1－1 截面上 A、B 两点的正应力： A 点：
习题 7－2 图 3
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)
)
1m ⎞ ⎛ = −1300 N ⋅ m M = − ⎜ 1× 103 N × 1m+600N/m × 1m × 2 ⎟ ⎝ ⎠
aw .
解： 1。计算梁的 1－1 截面上的弯矩：
co
m
习题 7－1 图
[σ ]＋ ＝40 MPa，
压缩 许用应力
[σ ]－ ＝120 MPa。试校核梁的强
度是否安全。 画弯矩图如图所示。 解： C 点左侧和右侧截面上的最大拉应力与最大压应力分别为： C 左侧截面
+ σ max =
30 ×103 N ⋅ m × 96.4 × 10−3 m = 28.35 × 106 Pa=28.35 MPa 8 4 −12 1.02 × 10 ×10 m 30 × 103 N ⋅ m ×153.6 × 10−3 m = 45.18 ×106 Pa=45.18 MPa 8 4 −12 1.02 ×10 × 10 m