2014版高考数学一轮总复习 第9讲 对数与对数函数课件 理 新人教A版

一
有关对数及对数函数的运算问题
x≥4 x<4
1x 【例 1】 (1)设函数 f(x)＝ 2 fx＋1
a b
， f(log23)＝_______； 则
2 1 (2)设 3 ＝4 ＝36，则a＋b＝__________； (3)计算： 1 lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2 ) ＋lg6＋lg0.06＋52log53.
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2 (1)计算：lg5 ＋3lg8＋lg5· lg20＋(lg2)2＝ 3
2
； (用 a，b
3a (2)已知 log89＝a,2 ＝5，则 lg3＝ 2b＋1
b
表示)．
【解析】(1)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2 ＝2(lg5＋lg2)＋(lg5)2＋2lg5· lg2＋(lg2)2 ＝2lg10＋(lg5＋lg2)2 ＝2＋1＝3.
(2)若函数 f(x)＝loga(2－ax)在(0,1]上是减函数， 则 a 的取值范围是 (1,2) .
1 1 1 1 【解析】(1)因为 log2a<log2b<log2c，又 y＝log2x 是减 函数， 所以 a>b>c>0，而 y＝2x 为增函数，所以 2a>2b>2c. (2)因为 a>0，且 a≠1，所以 t＝2－ax 在(0,1]上为减函 数，且 t>0， 所以 2－a>0，即 a<2， 又 f(x)＝loga(2－ax)在(0,1]上是减函数， 所以 y＝logat 是增函数，所以 a>1， 故 1<a<2，即 a 的取值范围是(1,2)．
1＋x1 1＋x2 (ⅱ)当 0<a<1 时，loga >loga ， 1－x1 1－x2 即 f(x1)>f(x2)，故 f(x)在(－1,1)上是减函数．
1＋x 1 (3)由(1)可知，loga ＝logax， 1－x
1＋x 1 ＝x 1－x 所以 －1<x<1 x>0
x2＋2x－1＝0 ⇒ 0<x<1
2lg3 3 【解析】(2)因为 log89＝a，所以 a＝3lg2，lg3＝2alg2. lg5 1－lg2 1 又 2 ＝5，所以 b＝log25＝lg2＝ lg2 ＝lg2－1，lg2＝
b
1 3a ，所以 lg3＝ . b＋1 2b＋1
二
对数函数的图象与性质问题
x2 【例 2】已知 f(x2－1)＝loga 2(a>0，且 a≠1)． 2－x (1)求 f(x)的解析式，并判断 f(x)的奇偶性； (2)判断函数的单调性； 1 (3)解关于 x 的方程 f(x)＝logax.
1 令 log2x＝t，因为 x∈[ 2，8]，所以 t∈[2，3]， 32 1 所以 y＝t －3t＋2＝(t－2) －4，
2
3 3 1 当 t＝2时，即 log2x＝2，x＝2 2时，[f(x)]min＝－4； 当 t＝3，即 log2x＝3，当 x＝8 时，[f(x)]max＝2.
1．比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的 对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化 为同底数的对数，还要注意与0比较或与1比较． 2．把原函数作变量代换化归为二次函数，然后用 配方法求指定区间上的最值是指数函数与对数函 数的常见题型． 3．解含对数的函数问题时要首先考虑定义域，去掉 对数符号要注意其限制条件，注意在等价转化的原 则下化简、求解，对含参数问题注意分类讨论．
【要点指南】
1.若 a>0，a≠1，x>y>0，n∈N，则下列各式： ①(logax)n＝nlogax; 1 ③logax＝－logax ； logax n ⑤ n ＝loga x； 其中正确的个数有( A．2 个 C．4 个 ②(logax)n＝logaxn； 1 ④ logax＝nlogax； n x－y x＋y ⑥loga ＝－loga . x＋y x－y ) B．3 个 D．5 个
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已知函数 y＝g(x)的图象与函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图 象关于直线 y＝x 对称，又将 y＝g(x)的图象向右平移 1 个单位 长度所得图象的解析式为 y＝f(x)，且 y＝f(x)在[3，＋∞)上总 有 f(x)>1. (1)求 f(x)的表达式； (2)求实数 a 的取值范围．
2 以10为底的对数叫做⑤ _______ ，记作⑥ ______. 3以e为底的对数叫做⑦ ________ ，记作⑧ ______. log log 4 负数和零没有对数； a 1 ⑨ ____ ， a a ⑩ ____ .
2．对数的运算性质
1 如果a 0且a 1，M 0，N 0，那么① log a M N
1x (2)对于[3,4]上的每一个 x 的值，不等式 f(x)>(2) ＋m 恒成 1x 立⇔f(x)－(2) >m 恒成立． 1x 1 2 1x 令 g(x)＝f(x)－(2) ＝log2(1＋ )－(2) ， x－1 g(x)在[3,4]上是单调递增函数， 9 9 所以 m<g(3)＝－8，即 m 的取值范围是(－∞，－8)．
5.已知函数 f(x)＝
1 ， 则函数 f(x)的定义域是( 1 log22x＋1 1 B．(－2，0] D．(0，＋∞)
)
1 A．(－2，0) 1 C．(－2，＋∞)
1 1 【解析】由 log2(2x＋1)>0＝log21，得 0<2x＋1<1， 1 所以－1<2x<0，所以－2<x<0， 1 所以 f(x)的定义域为(－2，0)，故选 A.
3 2
【解析】(1)因为 1<log23<2， 所以 f(log23)＝f(1＋log23)＝f(2＋log23)＝f(3＋log23) 1 13 1 1 1 1 ＝(2)3＋log23＝(2) ·2)log23＝8×3＝24. ( (2)由 3a＝4b＝36 得 a＝log336，b＝log436，再根据换 1 1 底公式得 a＝log336＝log 3，b＝log436＝log 4. 36 36 2 1 所以a＋b＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.
.
1 【解析】原式＝－(lg4＋lg25)×1002＝－lg100×10 ＝－2×10＝－20.
4.若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的反 函数，且 f(2)＝1，则 f(x)＝ log2x .
【解析】因为 y＝ax 的反函数为 y＝f(x)＝logax， 又 f(2)＝1，loga2＝1，所以 a＝2，所以 f(x)＝log2x.
M ⑪ ______ ；② log a ⑫ ______ ；③ log a M n ⑬ ______ . N 2 对数的换底公式及恒等式 log c b ① log a b (a 0且a 1，c 0且c 1，b 0)； log c a ②a loga N N (a 0且a 1)； ③ log an b m log a b(a 0且a 1，m、n N* )．
理解对数的概念及其运算性质；了解对数 换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常 用对数；了解对数的概念；理解对数函数的性 质，会画对数函数的图象；了解指数函数与对 数函数互为反函数．
1．对数
1 一般的，如果a x N (a 0且a 1)，那么数x叫做
① _______ ，记作② _____ ，其中a叫做对数的 ③ _____ ，N叫做④ __________ .
，解得 x＝ 2－1.
【点评】解决与对数有关问题，首先要看对数函数定义 域，复合函数 y＝logaf(x)的单调区间也是 y＝f(x)的单调区 间． 研究由对数函数与其他函数的复合函数要以这两点为解 题的突破口．
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1 1 1 (1)已知 log2a<log2b<log2c，则 2a,2b,2c 三个数从 小到大的排列是 2c<2b<2a .
备选例题
1 x x 已知 2 ≤256， log2x≥2， 且 求函数 f(x)＝log22· 2 2 log
x
的最大值和最小值．
【解析】因为 2x≤256＝28，所以 x≤8. 1 又 log2x≥2，所以 x≥ 2，故 x∈[ 2，8]． x x 因为 f(x)＝log22· log 2 2 ＝(log2x－1)(log2x－2) ＝(log2x)2－3log2x＋2.
【解析】(1)由已知，y＝g(x)与 y＝ax 互为反函数， 所以 g(x)＝logax(a>0，且 a≠1)， 所以 f(x)＝loga(x－1)． (2)因为 f(x)＝loga(x－1)在[3，＋∞)上总有 f(x)>1， 即 loga(x－1)>1.
所以当 a>1 时，x－1 在[3，＋∞)上恒成立， 所以 1<a<2； 又若 0<a<1，则 loga(x－1)>1 在[3，＋∞)上不可能 恒成立． 综上可得，a 的取值范围是(1,2)．
三
有关对数函数的综合问题
11－ax 【例 3】 (2011· 长沙模拟)设 f(x)＝log2 为奇函数， a x－1 为常数． (1)求 a 的值； 1x (2)若对于[3,4]上的每一个 x 的值，不等式 f(x)>(2) ＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
【解析】(1)因为 f(x)是奇函数，所以 f(－x)＝－f(x) 1 1＋ax 11－ax 1＋ax x－1 ⇒log2 ＝－log2 ⇔ ＝ >0 －x－1 x－1 －x－1 1－ax ⇔1－a2x2＝1－x2⇒a＝± 1. 经检验，a＝－1(a＝1 舍去)．
3．对数函数 一般的，我们把函数⑭ __________ (a 0且a 1)叫做对数函数，其中x是自变量， 函数的定义域为⑮ _____ .
4．对数函数的图象与性质
5.反函数 指数函数y＝a x (a 0且a 1)与对数函数y＝log a x(a 0且a 1) 互为22 _______ ，它们的图象关于直线23 _______ 对称， 指数函数y＝a x (a 0且a 1)的定义域为{x | x R}，值 域为 y | y 0，对数函数y＝log a x(a 0且a 1)的定义 域为 x | x 0，值域为{ y | y R}．
【分析】先用换元法求解解析式，用定义判断奇偶性， 证明单调性；解不等式时，注意函数的单调性．
【解析】(1)令 x2－1＝t，则 x2＝t＋1， 1＋t x2 2 所以 f(t)＝loga ，又 2>0，所以 0<x <2， 1－t 2－x 所以 0<t＋1<2，即－1<t<1， 1＋x 故 f(x)＝loga (－1<x<1)． 1－x 1－x 1＋x －1 而 f(－x)＝loga ＝loga( ) 1＋x 1－x 1＋x ＝－loga ＝－f(x)， 1－x 故 f(x)是奇函数．
【解析】 只有③⑤⑥正确，故选 B.
2.已知 loga2＝m，loga3＝n，则 a
2m＋n
＝ 12 .
【解析】因为 loga2＝m，loga3＝n，所以 am＝2，an＝3， 所以 a
2m＋n
＝(am)2·n＝22×3＝12. a
1 1 3.计算：(lg4－lg25)÷ 100－2＝ －20
1 6 (3)原式＝lg5(3lg2＋3)＋( 3lg2) ＋lg(6×100)＋5log59
2
＝3lg5· lg2＋3lg5＋3lg22－2＋9 ＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5＋7 ＝3(lg2＋lg5)＋7＝10.
【点评】对数函数的真数与底数应满足的条件是求解 有关对数问题时必须予以重视的，另外研究对数函数时尽 量化为同底．
(2)设－1<x1<x2<1，则 1－x1>1－x2>0， 2 2 所以 < ， 1－x1 1－x2 1＋x1 2 1＋x2 2 ＝－1＋ < ＝－1＋ . 1－x1 1－x1 1－x2 1－x2 1＋x1 1＋x2 (ⅰ)当 a>1 时，loga <loga ， 1－x1 1－x2 即 f(x1)<f(x2)，故 f(x)在(－1,1)上是增函数；