数值与计算方法绪论

y(x) y(x h) y(x) h
15
1.1数学问题的数值解法例示
例1.1.1试求函数方程x=cosx在区间 (0, ) 内的
一个根。
2
解 令f (x) x cosx,易知f (x)在[0, ]上是连续函数,且
2
f (0) f ( ) (1) * 0
2
2
由零点定理知,方程f (x) 0在(0, )内至少有一个零点.
• 计算数学的发展：进行高效率、高精度的并行计算
9
为什么要学习计算方法这门课？
利用计算机求解实际问题的核心过程，非常 重要。
虽然已有大量数值算法的软件包，但需要我 们了解算法设计的原理，以便更好地应用。
随着计算机的应用越来越广泛，计算问题越 来越复杂，规模越来越大，现成的数值方法 软件包不能满足特定需要，如数字图像处理、 天气预报、Web搜索。
第1章 绪论
利用计算机解决实际问题有三大步骤：
I. 建立模型 II. 计算问题的解( 1.选择数值方法；2 .编写程序) III. 实验验证
本课程的任务：
讨论第Ⅱ步，即介绍计算机上的常用的数 值方法
4
实际问题 (Ⅰ)
数学模型
(数值)算法 (Ⅱ)
编程
抽象：“去伪存真，去粗取 精”
(Ⅲ)源自文库
计算结果
…
…
x42=0.739085133，x43=0.739085133
牛顿迭代法：xn1 xn
取初值：x0=0.75
f ( xn ) f ' ( xn )
xn
xn cos xn 1 sin xn
迭代得：x1=0.739111138，x2=0.739085133 x3=0.739085133
比较：两种方法同样获得9位数字的近似解，
数值计算方法
1
先修课程 高等代数、线性代数、一门编程语言
开课情况 48学时，3学分。
2
教学安排
1. 绪论 2. 非线性方程的数值解法 3. 线性方程组的数值解法 4. 函数逼近的插值法与曲线拟合法 5. 数值积分 6. 常微分方程数值解法 7. 矩阵特征值和特征向量的数值解法
3
开方、极限、超越函数、微分、积分等等。
要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的 等价或近似等价运算。
14
1.
如求根公式
x1,2 b
b2 4ac 2a
2.
应化为公式 x1,2
b sqrt(b2 4ac) 2a
3. 超越函数 ex，应化为
ex 1 x x2 xn
2!
n!
4. 函数y(x)的导数y(x)的计算应化为
输出的数据是解向量 x,和方程的解 x1 , x2
12
y 2x 3
求解微分方程
y(0) 0
是不是数值问题？
输入的虽是数据 ,但输出的不是数据而是 函数y x2 3x
将其变成数值问题，即将其“离散化” 即将求函数 y x2 3x
改变成求函数值 y(x1 ), y(x2 ), , y(xn ), x1 x2 xn
计算数学：《计算方法》或《数值分析》
8
计算数学的应用与发展
• 科学理论、科学试验和科学计算(计算的方法)是现 代科学的三个组成部分
• 计算机下的科学计算大大地提高了计算速度和计算 精度，是使原来不能实现的海量复杂计算成为现实
• 科学计算是以计算机为基础的科学计算，其计算理 论是计算数学
• 计算数学的应用：天体物理、大气研究、分子生物、 集成电路、天气预报、模式识别、网络信息搜索等
7
计算数学的对象
• 计算数学是一门古老的数学
如计算圆周率、《九章计算》等； 牛顿、莱布尼兹等提出的微分、积分计算；
• 计算数学是一门年轻的数学
近代计算机的诞生，产生了数学的计算机计算.
• 计算机与数学的关系非常密切 • 计算数学：计算机上的数学方法。
或定义为：研究数值计算方法的设计、分析和有关理论基础 与软件实现的一个数学分支。
“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法，这也是计算方法的任务之一
13
（2）数值方法
数值方法：是指解数值问题的 在计算机上可执行的系列计算公式。
在计算机上可执行的公式是指只含有加减乘除的公式。
现在的计算机中几乎都含有关于开方的标准函数sqrt() 常见的在计算机上不能直接运行的计算有:
2
又由f (x) 1 sin x 0, x (0, )
2
知上述零点唯一.
16
注：【零点定理】
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) 与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开 区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点， 即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。
17
1.1数学问题的数值解法例示
本题用解析法求解较为困难.若用图解
法, 可大致判定此零点位置.作图像
yx
y
cos
x
取两曲线交点p*的横坐标x*为所求方程的解.,从图中可以
看出x*大致位于 附近.
4
18
简单迭代法： xn1 cos xn
取初值：x0=0.75 迭代得：x1=0.731688868，x2=0.744047084
5
以计算机为工具 求解各种数学模型需经历三个过程
I. 总体设计(含模型的细化等) II. 详细设计(主要是算法设计) III. 实验验证 其中Ⅱ包括：
• 连续系统的离散化 • 离散型方程的数值求解
6
计算方法 主要研究将数学模型变成数值问题, 并研究求解数值问题的数值方法，进而设计数值算法。
内容包括: 基本概念介绍；误差及分析；收敛性、稳定性；算法 复杂性等
简单迭代法需要迭代43次，牛顿迭代法迭代3次。 19
例1.1.2.计算定积分
（1）I1
14 0 1 x2 dx
(2) I2
1 ex2 dx
0
解：（1）由牛顿 — 莱布尼兹公式
I1 4 arctan x |10 4 arctan1 4 arctan0
数值方法有多种，如选择n 2, h 1 , 被积函数 2
10
用计算机求解，需要首先将数学模型转 换为数值问题，然后研究求解数值问题 的数值算法。
11
（1）数值问题
数值问题： 输入数据与输出数据之间函数关系的 一个确定而无歧义的描述。
即： 输入与输出的都是数值的数学问题
如求解线性方程组 求解二次方程
Ax b
都是数值问题
ax2 bx c 0
输入的数据是系数矩阵A, 常数项向量b与系数a, b, c