数学归纳法

7.用 学 纳 证 (n+1)(n+ 2)L n+ n) = 2n ⋅ 1⋅ 3L 2n−1). ( ( 数 归 法 明 (n∈N)从 k到 +1 左 需 乘 代 式 ( B ) " k " 端 增 的 数 是 2k +1 2k + 3 A +1 .2k B.2(2k+1) C . D. k +1 k +1
P 习 4.1 6题: 平 上 n条 线其 任 两 都 题 第 面 有 直 , 中 意 条 相 50 , 意 条 共 ,这 直 把 面 成 少 区 ? 交任 三 不 点 些 线 平 分 多 个 域 明 的 论 证 你 结
(2)假 当 = k(k ≥ 1)时 式 立即 设 n 等 成 , −1+ 3− 5+L+ (−1)k(2k −1) = (−1)k k n 当 = k +1时
1 例 证 : n3 + 5n(n∈ N+ )能 被 整 . 明 够 6 除
明 n , 证 : (1)当 = 1时 n3 + 5n = 6显 能 被 整 , 命 成 . 然 够 6 除 题 立
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二.用数学归纳法证明几何问题 用数学归纳法证明几何问题
2 面 有 例 .平 上 n(n∈N+,n ≥ 3)个 ,其 任 三 都 在 点 中 何 点 不 一 直 上 这 点 任 两 作 线 样 直 同 条 线 , 过 些 中 意 点 直 ,这 的 线 有 少 ? 明 的 论 共 多 条证 你 结 .
(2)假 当 = k时 题 立即 k边 的 角 的 数 设 n 命 成 , 凸 形 对 线 条 1 f (k) = k(k − 3)(k ≥ 3). n = k +1时 k +1边 是 k边 的 础 , 当 形 在 形 基 上 2 增 了 边增 了 个 点 k+1,增 的 角 条 是 点 k+1与 加 一 , 加 一 顶 A 加 对 线 数 顶 A 相 顶 连 再 上 k 形 一 A k 加 对 线 数 不 邻 点 线 加 原 边 的 边 1A ,增 的 角 条 为 (k − 2) +1 = k −1
对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用 对于一些与无限多个正整数相关的命题 如果不易用 以前学习过的方法证明,用数学归纳法可能会收到较 以前学习过的方法证明 用数学归纳法可能会收到较 好的效果. 好的效果
如 例 : sin θ ≤ nsin (n∈N+ ) n θ n2 < 2n(n∈N+, n ≥ 5) (1+ x n > 1+ n ( x > − , n∈N+ ) ) x 1
4.某 命 与 然 n有 ,若 = k(k ∈N+ )时 该 题 立 , 命 成 , 个 题 自 数 关 n 么 推 n , 那 可 得 = k +1 该 题 成 , 现 已 当 = 5时 时 命 也 立 在 知 n 该 题 成 ,那 可 得 C ) 命 不 立 么 推 ( A当 = 6时 命 不 立 B. n = 6时 命 成 . n 该 题 成 当 该 题 立 C当 = 4时 命 不 立 . n 该 题 成 D当 = 4时 命 成 . n 该 题 立
解: 上 四 式 的 果 别 2,−3,4,−5, 面 个 子 结 分 是 n n 由 猜 : −1+ 3− 5+L+ (−1) (2n−1) = (−1) n 此 想 下 用 学 纳 证 : 面 数 归 法 明 (1)当 = 1时 式 左 两 都 于 1,即 时 式 立 n , 子 右 边 等 − 这 等 成 .
P 习 4.1 5题:凸 边 有 少 对 线 n 形 多 条 角 ? 50 题 第 明 的 论 证 你 结 .
1 解: n凸 形 对 线 数 f (n) = n(n− 3)(n ≥ 3). 边 的 角 条 : 2 下 用 学 纳 证 面 数 归 法 明
1 (1) n = 3时 f (3) = ×3×(3− 3) = 0.而 角 没 对 线 , 当 三 形 有 角 2 题 立 命 成 .
特别提示: 特别提示 用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确 清 用数学归纳法证几何问题 应特别注意语言叙述正确,清 应特别注意语言叙述正确 一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少 一般 新增加量是多少.一般 楚,一定要讲清从 一定要讲清从 到 时 新增加量是多少 证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上 地,证明第二步常用的方法是加一法 即在原来的基础上 证明第二步常用的方法是加一法 即在原来的基础上, 再增加一个,也可以从 也可以从k+1个中分出一个来 剩下的 个利 个中分出一个来,剩下的 再增加一个 也可以从 个中分出一个来 剩下的k个利 用假设. 用假设
1 1 2 ∴ f (k +1) = k(k − 3) + k −1 = (k − k − 2) 2 2 1 1 = (k +1)(k − 2) = (k +1)[(k +1) − 3] 2 2 n 故 = k +1 , 命 成 时 题 立 ( 由1),(2)可 对 何 ∈N+, n ≥ 3命 成 . 知 任 n 题 立
什么是数学归纳法 ? 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数 一般地 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所 当要证明一个命题对于不小于某正整数 有正整数n都成立时 可以用以下两个步骤: 都成立时,可以用以下两个步骤 有正整数 都成立时 可以用以下两个步骤 (1)证明当 证明当n=n0时命题成立 时命题成立; 证明当
课堂练习: 课堂练习
1.用 学 纳 证 :1+ a + a2 +L an+1(a ≠ 1)在 证 数 归 法 明 + 验 n =1 ,左 计 所 的 为 C ) 时 端 算 得 项 ( A .1 B.1+ a C + a + a2 .1 D 1+ a + a2 + a3 .
1 1 1 2.用 学 纳 证 :1+ + +L+ n 数 归 法 明 < n(n∈N+, n > 1), 2 3 2 −1 第 步 明 "k到 +1 , 左 增 的 数 ( B ) 二 证 从 k " 端 加 项 是 A k-1 .2 B.2k C.2k −1 D.2k +1
(2)假 当 = k(k ≥ 1)时 命 成 ,即 3 + 5k能 被 整 . , 题 立 k 设 n 够 6 除 当 = k +1时 n ,
(k +1) + 5(k +1) = k + 3k + 3k +1+ 5k + 5
3 3 2
= (k3 + 5k) + 3k(k +1) + 6
假 知 由 设 k3 + 5k能 被 整 ,而 (k +1)是 数 故 k(k +1) 够 6 除 k 偶 , 3 够 6 除 而 能 被 整 , 从 (k +1)3 + 5(k +1)能 被 整 ,因 ,当 够 6 除 此 n = k +1 命 成 . 时 题 立 ( , 题 一 正 数 立 n 由1),(2)知 命 对 切 整 成 ,即 3 + 5n(n∈N+ ) 够 6 除 能 被整 .
8.用 学 纳 证 : (1⋅ 22 − 2⋅ 32) + (3⋅ 42 − 4⋅ 52) +L 数 归 法 明 + (2n−1)⋅ (2n)2 − 2n(2n+1)2 = −n(n+1)(4n+ 3)
1 1 1 f 9.设 (n) = 1+ + +L + , 是 存 g(n)使 式 否 在 等 n 2 3 f (1) + f (2) +L f (n−1) = g(n) f (n) − g(n)对 ≥ 2 n + 一 自 数 立 证 结 . 的 切 然 成 ?并 明 论
3.如 命 p(n)对 = k成 ,则 对 = k + 2亦 立 n 果 题 立 它 n 成 , 若 n 又 p(n)对 = 2成 ,则 列 论 确 是 B ) 立 下 结 正 的 ( A (n 对 有 整 n成 .p ) 所 正 数 立 C (n 对 有 正 数 成 .p ) 所 奇 整 n 立 B.p )对 有 正 数 成 (n 所 偶 整 n 立 D (n 对 有 1大 自 数 成 .p ) 所 比 的 然 n 立
k (2)假设当 假设当n=k (k ∈N+, 且 ≥ n0) 时命题成立 证明 时命题成立,证明 证明n=k+1 假设当 时命题也成立. 时命题也成立
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于 在完成了这两个步骤后 就可以断定命题对于不小于n0 就可以断定命题对于不小于 的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法. 这种证明方法称为数学归纳法 的所有正整数都成立 这种证明方法称为数学归纳法
特别提示: 特别提示 数学归纳法证题的关键是“一凑假设 二凑结论 在证 二凑结论” 数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证 题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用 归纳推理一定要起到条件的作用,即证明 题的过程中 归纳推理一定要起到条件的作用 即证明 n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件 成立时必须用到归纳递推这一条件. 成立时必须用到归纳递推这一条件
一.用数学归纳法证明等式问题 用数学归纳Βιβλιοθήκη Baidu证明等式问题
过 算 面 式 , 想 − 通 计 下 的 子猜 出 1+ 3− 5+L+ (−1)n(2n−1) 的 果并 以 明 结 , 加 证 . −1+ 3 = _____; 1+ 3− 5 = ______ − −1+ 3− 5+ 7 = ______; 1+ 3− 5+ 7 − 9 = _______ −
用数学归纳法证明时,要分两个步骤 两者缺一不可 用数学归纳法证明时 要分两个步骤,两者缺一不可 要分两个步骤 两者缺一不可. (1)证明了第一步 就获得了递推的基础 但仅靠这一步还不能 证明了第一步,就获得了递推的基础 证明了第一步 就获得了递推的基础,但仅靠这一步还不能 说明结论的正确性. 说明结论的正确性 在这一步中,只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了 在这一步中 只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了, 只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了 没有必要验证命题对几个正整数成立. 没有必要验证命题对几个正整数成立 (2)证明了第二步 就获得了推理的依据 仅有第二步而没有第 证明了第二步,就获得了推理的依据 证明了第二步 就获得了推理的依据.仅有第二步而没有第 一步,则失去了递推的基础 而只有第一步而没有第二步,就可 则失去了递推的基础;而只有第一步而没有第二步 一步 则失去了递推的基础 而只有第一步而没有第二步 就可 能得出不正确的结论,因为单靠第一步 我们无法递推下去,所 因为单靠第一步,我们无法递推下去 能得出不正确的结论 因为单靠第一步 我们无法递推下去 所 以我们无法判断命题对n 是否正确. 以我们无法判断命题对 0+1,n0+2,…,是否正确 是否正确 在第二步中,n=k命题成立 可以作为条件加以运用 而n=k+1 命题成立,可以作为条件加以运用 在第二步中 命题成立 可以作为条件加以运用,而 时的情况则有待利用命题的已知条件,公理 定理,定义加以证 公理,定理 时的情况则有待利用命题的已知条件 公理 定理 定义加以证 明. 完成一,二步后 最后对命题做一个总的结论 完成一 二步后,最后对命题做一个总的结论 二步后 最后对命题做一个总的结论.
1 1 1 127 5.用 学 纳 证 不 式 + + +L+ n−1 > 数 归 法 明 等 1 成 , 立 2 4 64 2 起 值 少 应 为B ) 始 至 就 取 ( A .7 B.8 C .9 D .10
6.用 学 纳 证 " n是 奇 时 xn + yn能 x + y整 ", 数 归 法 明当 正 数 , 被 除 在 二 时正 的 法 ( D ) 第 步 , 确 证 是 A 假 n = k(k ∈N+ ),证 n = k +1命 成 . 设 明 题 立 B.假 n = k(k为 奇 ), 证 命 n = k +1成 设 正 数 明 题 立 C 假 n = 2k +1 k ∈N+ ),证 n = k +1命 成 . 设 ( 明 题 立 D 假 n = k(k为 奇 ), 证 命 = k + 2题 立 . 设 正 数 明 n 成