-解一元二次方程因式分解法

• 你能用分解因式法解下列方程吗？
1. x2-4=0; 解： (x+2)(x-2)=0,
解： [(x+1)+5][(x+1)-5]=0, ∴x+6=0,或x-4=0.
∴x1=-6, x2=4.
∴x+2=0,或x-2=0.
∴x1=-2, x2=2.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法?
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为:
例3 解下列方程: 1 3 2 2 (2)5 x 2 x x 2 x , 4 4
解 : 移项, 合并同类项, 得：
x 2x 1 0.
x 2 0, 或x 1 0.
(2x 1)2x 1 0.
4 x 1 0,
2
2x 1 0, 或2x 1 0. x1 2, x2 1. 1 1 x1 ; x2 . 2 2 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
小颖是这样解的 : 解 : x 2 3x 0. 小明是这样解的 :
解 : 方程x 2 3x两 边都同时约去x, 得. x 3.
(3) 2 4 1 0 9.
3 9 . 2 这个数是0或3. x
这个数是3.
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
心动
不如行动
你能解决这个问题吗
方程右边化为零 x2+2x－8 =0
左边分解成两个 一次因式 的乘积 (x－2)(x+4)=0
至少有一个一次因式为零得到两个一元一次方程 x－2=0或x+4=0
∴ x1=2 ,x2=-4 两个一元一次方程的解就是原方程的解
例题欣赏
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解：x( x 2) x 2 0,
(1)x(x-2)+x-2=0;
(5)3x(2 x 1) 4 x 2
解 : (2 x 1)(3x 2) 0.
1 2 x1 , x2 . 2 3
(6)(x 4)2 (5 2x)2
解 : x 4 (5 2x). x1 3, x2 1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地 面积增加了一倍,求小圆形场地的半径. 解:设小圆形场地的半径为r.
1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
例题欣赏
2
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用分解因式法解方程:
(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2); (3)x2+6x-7=0
(1)解 : 5 x 4 x 0,
x5x 4 0.
x 0, 或5x 4 0.
2解：x 2 xx 2 0, x 21 x 0.
x 2 0, 或1 x 0. x1 2; x2 1.
解： ( x 1)( x 7) 0 x 1 0或x 7 0
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解 成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因 式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程 的方法称为分解因式法. 提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至 少有一个因式等于零.”
2
解 : x( x 2 3) 0. x1 0, x2 2 3.
(4)4 x 2 121 0
(3)3x 6x 3
2
解 : x2 2x 1 0
x1 x2 1.
( x 1) 0.
2
解 : (2x 11)(2x 11) 0. 11 11 x1 , x2 . 2 2
4 x1 0; x2 . 5 （3）利用十字相乘法： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
1 1
1 7
x1 1, x2 7
1.解下列方程
(1) x x 0
2
解 : x( x 1) 0. x1 0, x2 1.
(2) x 2 3x 0
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
源自文库
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a


心动
不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
小亮是这样解的 : 解 :由方程x 2 3x, 得 x 2 3x 0. xx 3 0. x 0, 或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
我思
我进步
分解因式法
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫 做分解因式.
我思
我进步
分解因式的方法有那些?
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2. （3）十字相乘法: x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
1 1
a b
学习是件很愉快的事
淘金者
2. (x+1)2-25=0.
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程 重要方法,要作为一种基本技能来 掌握.而某些方程可以用分解因式 法简便快捷地求解.
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 3x.
小亮是这样想的 :
如果a b 0,
那么a 0或b 0 或a b 0.
即, 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.
(r 5) 2r
2 2
2
r
10 2
200
.
r 10r 25 0
负值舍去, r 5 5 2.
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1. 将方程左边因式分解，右边等于0;
2. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个 一元一次方程. 3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就 是原方程的根.