曾谨言量子力学第3章 PPT

对 [ Aˆ, Bˆ ] [Bˆ, Aˆ] 易 [ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ ] [Aˆ,Cˆ ] 子 [ Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ[ Aˆ,Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ ]Cˆ 的 性 [ Aˆ Bˆ,Cˆ ] Aˆ[Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ]Bˆ 质 [ Aˆ,[Bˆ,Cˆ ]] [Bˆ,[Cˆ, Aˆ]] [Cˆ,[Aˆ, Bˆ ]] 0(Jacobi)恒等式
z r cosθ
φ arctan(y / x)
lˆx
isinφ
θ
cotθ
cosφ
φ
lˆy
i cosφ
θ
cotθ
s in φ
φ
lˆz
i
φ
lˆ 2
2
1
sinθ
θ
sinθ
θ
1
sin2 θ
2
φ 2
角动量的对易关系
Levi-Civita 符号
[lˆα , xβ ] εαβγixγ [lˆα , pˆ β ] εαβγipˆγ
积 的 性
(ψ ,φ ) (φ ,ψ ) (ψ , c1φ1 c2φ2 ) c1(ψ ,φ1) c2 (ψ ,φ2 )
质 (c1ψ1 c2ψ2 ,φ ) c1(ψ1,φ ) c2(ψ2 ,φ )
(f) 转置算符： 算符A的转置定义为 dτψ A~ˆ φ dτφAˆ ψ
或
(ψ , A~ˆ φ ) (φ , Aˆ ψ )
( c ) 算符之积： 两个算符A和B的积记为AB。定义如下：对任何 波函数有
(AˆBˆ)ψ Aˆ(Bˆψ )
( 5)
Note: 一般来说，算符之积不满足交换律
1. 对易子(commutator)
[ Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
(6)
若[A,B]=0,则称算符A,B是对易的； 若[A,B]≠0, 则称算符A, B不对易。
(g)复共轭算符和厄米共轭算符 算符A 的复共轭算符A*定义为
Aˆψ (Aˆψ ) (40)
通常算符A的复共轭算符A* 按如下方法求解： 把算符A中的 所有量都换成其复共轭。 如 pˆ (i) i pˆ
算符A 的厄米共轭算符A+定义为 (ψ, Aˆ φ) (Aˆψ,φ) (41) 则 (ψ , Aˆ φ ) (Aˆψ ,φ ) (φ, Aˆ ψ ) (φ , Aˆψ ) (ψ , A~ˆ φ )
算符相等：若两个算符对体系的任何波函数的运算所得结果
都相同，则称这两个算符相等。
Aˆψ Bˆψ
( 3)
Aˆ Bˆ
(b) 算符之和: 算符A,B之和，记为A+B。定义如下：对任何波函 数有
(Aˆ Bˆ)ψ Aˆψ Bˆψ
( 4)
交换律: Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ;
结合律: Aˆ (Bˆ Cˆ ) ( Aˆ Bˆ) Cˆ
an n!
dn dx n
则
a
e
d
dxψ
(
x)
ψ
(
x
a)
平移算符
两个算符的函数
F (n,m)(x, y)
n x n
m y m
F(x, y)
F( Aˆ, Bˆ ) F (n,m) (0,0)Aˆ nBˆ m n,m0 n!m!
算符的乘幂：定义算符A的n次幂为 Aˆ n Aˆ AˆAˆ
n
例，若 Aˆ d dx
曾谨言量子力学第3章
§3.1 算符的运算规则
算符：量子力学中的算符就是对波函数（量子态）的一种运算
(a) 线性算符：凡满足下列规则的算符A，称为线性算符。
Aˆ(c11 c22) c1 Aˆ1 c2 Aˆ2 (1)
Note: 刻画可观测量的算符都是线性算符 I：保持波函数不变的算符
Iψ ψ
( 2)
则
Aˆ n
dn dx n
显然算符的乘幂满足： Aˆ mn Aˆ m Aˆ n
[ Aˆ m , Aˆ n ] 0
两个任意量子态的标积： (ψ,φ ) dτψφ
对一维粒子
dτ
dx
对三维粒子 dτ dxdydz r2 sinθdrdθdφ
(ψ,φ ) dτψφ
标 (ψ ,ψ ) 0
练习：令 lˆ lˆx ilˆy （升、降算符）
证明 [lˆz ,lˆ ] lˆ [lˆ ,lˆ ] 2lˆz lˆlˆ lˆ2 lˆz2 lˆz
(d)逆算符：设 Aˆψ φ
能唯一地解出Ψ，则可定义算符A的逆算符A-1为
Aˆ 1φ ψ
说明： (1) 并非所有算符都有逆算符，如投影算符 (2) 若算符A有逆，则有 Aˆ Aˆ 1 Aˆ 1Aˆ I , [ Aˆ, Aˆ 1] 0 (3) 若算符A,B的逆均存在，则有 ( Aˆ Bˆ )1 Bˆ 1Aˆ 1
例如： ~
x x
证明：
dxφ
ψ φψ
dxψ
φ
dxψ
φ
x
x
x
按转置算符的定义，上式的左边有
dxφ
ψ
dxψ
~
φ
x
x
则
dxψ
~ x
x
φ
0
由于函数Ψ，φ是任意的，则有
即
~
x x
~ 0 x x
练习 证明： (1) pˆx pˆx , (2) (Aˆ Bˆ)T BˆAˆ
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交
9
(f) 算符的函数 若函数F(x)的各阶导数存在，幂级数展开收敛
F(x) F (n)(0) xn n0 n!
则可定义算符A的函数F(A)为 F(Aˆ) F (n)(0) Aˆ n n0 n!
如
F d
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ad
e dx
n0
2.量子力学的基本対易关系
[xˆ , pˆ ] i ( , x, y, z)
证明：
对任意波函数Ψ有
xˆpˆ x
i
x
x
pˆ x xˆ i
(x ) i i x
x
x
则 (xˆpˆ x pˆ x xˆ) i
即
[xˆ, pˆ x ] i
3. 角动量算符 lˆ rˆ pˆ
分 量
lˆx yˆpˆ z zˆpˆ y i
y
z
z
y
表 述
lˆy zˆpˆ x xˆpˆ z i
z
x
x
z
lˆz xpˆ y ypˆ x i
x
y
y
x
球坐标系下的角动量算符
x r sinθ cosφ
y
r
sin
θ
sin
φ
,
r x2 y2 z2
θ arctan( x2 y2 / z)
εαβγ ε βαγ εαγβ ε123 1
[lˆα ,lˆβ ] εαβγ ilˆγ 或
lˆ lˆ ilˆ （ 与注两意个算矢符量的叉叉积积的
定义角动量平方算符
lˆ 2 lˆx2 lˆy2 lˆz2
对易关系
[lˆ 2 ,lˆα ] 0,(α x, y, z)
区别）
板书证明部分角动量对易关系