垂径定理复习
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A C D
（1）直径 ）直径AB H CD,垂足为 垂足为H （2）AB ⊥ 垂足为 ） （3）AC=AD ） ( 4 ) CH=DH
•O
B （1）直径 ）直径AB 1. （2）AB ⊥CD, ） （3）AC=AD ） (4)CH=DH
A C
2. H D
（1）直径 ）直径AB (4) CH=DH
变式提高
A B D O C
1）已知⊙O的半径为 的半径为4.5，它的内接∆ABC （1）已知⊙O的半径为4.5，它的内接∆ABC 中，AB=AC,AD⊥BC于D,AD+AB=10,求AD ⊥ 于 求 的长。 的长。 的中点， （2）若D是BC的中点，AD ⊥BC,BC=24, ） 是 的中点 AD=9,求⊙O的半径。 求 的半径。 的半径
C A D B 解： （1） Q AC=CB ，OC 是半径（已知） ） 是半径（已知）
∴
OC⊥AB ⊥ (如果圆的直径平分弧，那么 如果圆的直径平分弧， 如果圆的直径平分弧 这条直径垂直这条弧所对的弦） 这条直径垂直这条弧所对的弦）
O
∴ ∠ADO=90 o
Q
∠OAB+ ∠AOC=90o ∠OAB=90o-35o=55o
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心 ） 满足其中任两条， 满足其中任两条，必 定同时满足另三条 （2）这条直线垂直于弦 ） （3）这条直线平分弦 ） （4）这条直线平分弦所对的优弧 ）
二、练习 三、小结
（5）这条直线平分弦所对的劣弧 ）
四、达标检测
一、判断是非： 判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 r ）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （2）平分弦的直线，必定过圆心。 ）平分弦的直线，必定过圆心。
A B D O C (1)解：连结OB,延长 ，则必过圆心 。 解 连结 延长AD，则必过圆心O。 延长 若设AD=x，则OD=4.5-x,AB=10-x 若设 ， 在Rt∆ABD和Rt∆OBD中， 和 中 BD2=AB2－AD2=OB2－OD2 －（4.5－ ） 即（10－x）2－x2 =4.52－（ －x）2 － ） 解得x=4 即AD=4 解得
一题多变
B C E A C G D F G B F D A C G D F B
A E
.O
.O
E
.O
已知：如图，AB是的直径，CD是弦,AE⊥CD,垂足为E. 是的直径， 是弦,AE⊥CD,垂足为 垂足为E. 已知：如图，AB是的直径 CD是弦 BF ⊥CD垂足为F. CD垂足为 垂足为F. 求证： 求证：EC=DF 已知：如图，AB是的直径，CD是弦,CE ⊥ CD,DF ⊥ CD 是的直径， 是弦,CE 已知：如图，AB是的直径 CD是弦 求证：AE=BF 求证：
N E C M ND⊥AB于 ND⊥AB于D. O A C M
N E .O HD B C
E O
H
D
如图，已知AB是⊙O的弦，MN是直径,MC⊥AB于C, 的弦，MN是直径 是直径,MC⊥AB于 如图，已知AB是
1、求证：(1)AC=BD;(2)OC=OD 求证： 2、若⊙O的半径为17cm，AB=30cm,求ND-MC 的半径为17cm，AB=30cm,求ND-
∴
AB=2AD=32cm
小结
1.主要通过对圆中五种关系的两两组 主要通过对圆中五种关系的两两组
合，得出了除了垂径定理以外的圆的 其它的性质。 其它的性质。 2.注意这些性质必须同时满足两种关 注意这些性质必须同时满足两种关 系才能运用。 系才能运用。
达标检测
一、填空 1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成 、已知 、 是 中互相垂直的弦，并且 把 分成3cm和 和 中互相垂直的弦 分成 7cm的两部分，则弦和圆心的距离为 2 的两部分， 的两部分 则弦和圆心的距离为——cm. 2、已知⊙O的半径为 、已知⊙ 的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则 ， ∥ 且 则 的半径为 之间的距离为——.14cm或2cm 弦MN和EF之间的距离为 和 之间的距离为 3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为 、已知⊙ 中 ，圆心到 的距离为3cm，则此圆的 ， 的距离为 半径为—— 半径为 5cm 4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的 、在半径为 的 中 ， 中点的距离是—— 中点的距离是 10cm和40cm 10 3 5、 ⊙O的直径 、 的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC=—— cm 则弦 的直径
∴
如图所示， 的中点， 例一 、 如图所示， C是AB的中点， 是 的中点 OC交AB于点 ，∠AOC=35 o, AD=16cm 于点D 交 于点 的度数（ ） 的长 求（1） ∠OAB的度数（2）AB的长 ） 的度数
C A D 解： （2） Q AC=CB ，CD经过圆心 （已知） ） 经过圆心O（已知） 经过圆心 B ∴ DB=AD=16cm (如果圆的直径平分弧，那么这条直径平分 如果圆的直径平分弧， 如果圆的直径平分弧 O 这条弧所对的弦) 这条弧所对的弦
r
），那么这 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 ）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 条直线垂直这条弦。 条直线垂直这条弦。
A C O (1) B D A (2) D C •O B A (3) D C •O B r
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。 弦的垂直平分线一定是圆的直径。 弦的垂直平分线一定是圆的直径
(2)AB ⊥CD （3）AC=AD ） (2)AB⊥ CD (4) CH=DH （1）直径 ）直径AB (4) CH=DH （1）直径 ）直径AB (2)AB⊥ CD （1）直径 ）直径AB （3）AC=AD ）
•O
3.
（1）直径 ）直径AB （3）AC=AD ） (2)AB⊥ CD
Bபைடு நூலகம்
4. （3）AC=AD ） （3）AC=AD ） 5. (4) CH=DH (2)AB⊥ CD 6. (4) CH=DH
r
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 r ）平分弧的直线， （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 r ）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
C B •O A C (4) B C (5) •O A D A •O E D (6)
B
如图所示， 的中点， 例一 、 如图所示， C是AB的中点， 是 的中点 OC交AB于点 ，∠AOC=35 o, AD=16cm 于点D 交 于点 的度数（ ） 的长 求（1） ∠OAB的度数（2）AB的长 ） 的度数
（1）直径 ）直径AB H CD,垂足为 垂足为H （2）AB ⊥ 垂足为 ） （3）AC=AD ） ( 4 ) CH=DH
•O
B （1）直径 ）直径AB 1. （2）AB ⊥CD, ） （3）AC=AD ） (4)CH=DH
A C
2. H D
（1）直径 ）直径AB (4) CH=DH
变式提高
A B D O C
1）已知⊙O的半径为 的半径为4.5，它的内接∆ABC （1）已知⊙O的半径为4.5，它的内接∆ABC 中，AB=AC,AD⊥BC于D,AD+AB=10,求AD ⊥ 于 求 的长。 的长。 的中点， （2）若D是BC的中点，AD ⊥BC,BC=24, ） 是 的中点 AD=9,求⊙O的半径。 求 的半径。 的半径
C A D B 解： （1） Q AC=CB ，OC 是半径（已知） ） 是半径（已知）
∴
OC⊥AB ⊥ (如果圆的直径平分弧，那么 如果圆的直径平分弧， 如果圆的直径平分弧 这条直径垂直这条弧所对的弦） 这条直径垂直这条弧所对的弦）
O
∴ ∠ADO=90 o
Q
∠OAB+ ∠AOC=90o ∠OAB=90o-35o=55o
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心 ） 满足其中任两条， 满足其中任两条，必 定同时满足另三条 （2）这条直线垂直于弦 ） （3）这条直线平分弦 ） （4）这条直线平分弦所对的优弧 ）
二、练习 三、小结
（5）这条直线平分弦所对的劣弧 ）
四、达标检测
一、判断是非： 判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 r ）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （2）平分弦的直线，必定过圆心。 ）平分弦的直线，必定过圆心。
A B D O C (1)解：连结OB,延长 ，则必过圆心 。 解 连结 延长AD，则必过圆心O。 延长 若设AD=x，则OD=4.5-x,AB=10-x 若设 ， 在Rt∆ABD和Rt∆OBD中， 和 中 BD2=AB2－AD2=OB2－OD2 －（4.5－ ） 即（10－x）2－x2 =4.52－（ －x）2 － ） 解得x=4 即AD=4 解得
一题多变
B C E A C G D F G B F D A C G D F B
A E
.O
.O
E
.O
已知：如图，AB是的直径，CD是弦,AE⊥CD,垂足为E. 是的直径， 是弦,AE⊥CD,垂足为 垂足为E. 已知：如图，AB是的直径 CD是弦 BF ⊥CD垂足为F. CD垂足为 垂足为F. 求证： 求证：EC=DF 已知：如图，AB是的直径，CD是弦,CE ⊥ CD,DF ⊥ CD 是的直径， 是弦,CE 已知：如图，AB是的直径 CD是弦 求证：AE=BF 求证：
N E C M ND⊥AB于 ND⊥AB于D. O A C M
N E .O HD B C
E O
H
D
如图，已知AB是⊙O的弦，MN是直径,MC⊥AB于C, 的弦，MN是直径 是直径,MC⊥AB于 如图，已知AB是
1、求证：(1)AC=BD;(2)OC=OD 求证： 2、若⊙O的半径为17cm，AB=30cm,求ND-MC 的半径为17cm，AB=30cm,求ND-
∴
AB=2AD=32cm
小结
1.主要通过对圆中五种关系的两两组 主要通过对圆中五种关系的两两组
合，得出了除了垂径定理以外的圆的 其它的性质。 其它的性质。 2.注意这些性质必须同时满足两种关 注意这些性质必须同时满足两种关 系才能运用。 系才能运用。
达标检测
一、填空 1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成 、已知 、 是 中互相垂直的弦，并且 把 分成3cm和 和 中互相垂直的弦 分成 7cm的两部分，则弦和圆心的距离为 2 的两部分， 的两部分 则弦和圆心的距离为——cm. 2、已知⊙O的半径为 、已知⊙ 的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则 ， ∥ 且 则 的半径为 之间的距离为——.14cm或2cm 弦MN和EF之间的距离为 和 之间的距离为 3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为 、已知⊙ 中 ，圆心到 的距离为3cm，则此圆的 ， 的距离为 半径为—— 半径为 5cm 4、在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的 、在半径为 的 中 ， 中点的距离是—— 中点的距离是 10cm和40cm 10 3 5、 ⊙O的直径 、 的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC=—— cm 则弦 的直径
∴
如图所示， 的中点， 例一 、 如图所示， C是AB的中点， 是 的中点 OC交AB于点 ，∠AOC=35 o, AD=16cm 于点D 交 于点 的度数（ ） 的长 求（1） ∠OAB的度数（2）AB的长 ） 的度数
C A D 解： （2） Q AC=CB ，CD经过圆心 （已知） ） 经过圆心O（已知） 经过圆心 B ∴ DB=AD=16cm (如果圆的直径平分弧，那么这条直径平分 如果圆的直径平分弧， 如果圆的直径平分弧 O 这条弧所对的弦) 这条弧所对的弦
r
），那么这 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 ）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 条直线垂直这条弦。 条直线垂直这条弦。
A C O (1) B D A (2) D C •O B A (3) D C •O B r
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。 弦的垂直平分线一定是圆的直径。 弦的垂直平分线一定是圆的直径
(2)AB ⊥CD （3）AC=AD ） (2)AB⊥ CD (4) CH=DH （1）直径 ）直径AB (4) CH=DH （1）直径 ）直径AB (2)AB⊥ CD （1）直径 ）直径AB （3）AC=AD ）
•O
3.
（1）直径 ）直径AB （3）AC=AD ） (2)AB⊥ CD
Bபைடு நூலகம்
4. （3）AC=AD ） （3）AC=AD ） 5. (4) CH=DH (2)AB⊥ CD 6. (4) CH=DH
r
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 r ）平分弧的直线， （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 r ）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
C B •O A C (4) B C (5) •O A D A •O E D (6)
B
如图所示， 的中点， 例一 、 如图所示， C是AB的中点， 是 的中点 OC交AB于点 ，∠AOC=35 o, AD=16cm 于点D 交 于点 的度数（ ） 的长 求（1） ∠OAB的度数（2）AB的长 ） 的度数