平面与圆锥面的截线

平面与圆锥面的截线
CHENLI
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观察平面截圆锥面的图形，截 线是什么图形？
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改变平面的 位置，可得 到三种曲线， 它们统称为 圆锥曲线.
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从平面图形入手，开始讨论一 条直线与等腰三角形的位置关 系：
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将等腰三角形拓 广为圆锥，直线 拓广为平面。如 果用一平面去截 一个正圆锥，而 且这个平面不通 过圆锥的顶点， 会出现哪些情况 呢？
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归纳提升：
定理 在空间中，取直线l为轴，直线l'
与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋
转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，
任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平
行，记作β＝0），则：
（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭
圆；
（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛
物线；
（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双
曲线。
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证明结论：
利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上 方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞ α，平面与圆锥的交线为椭圆.
利用切线长相等，容易证明 PF1+PF2=PQ1C+HEPNQLI2＝Q1Q2=定值.
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证明：β＝α时，平面与圆锥面 的交线为抛物线.
图片的制作可以使用软件《几何图霸》.
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知识运用
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图形制作(《几何图霸》）
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当平面 与圆锥 面的交 线为双 曲线时 准线的 及离心 率：
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换个角度 看图：
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Байду номын сангаас
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结论：
截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆 锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余 弦之比.
三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以 在《几何图霸》中统一到一幅图中;