高三一轮复习专题训练：函数的图像与性质

函数的图像与性质

一、基础知识要记牢

(1)两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．

(2)求函数的值域的常用方法有观察法、不等式法、图像法、换元法、单调性法等． 二、经典例题领悟好

[例1] (1)(2013·山东高考)函数f (x )＝ 1－2x ＋

1

x ＋3

的定义域为( ) A ．(－3,0] B ．(－3,1]

C ．(－∞，－3)∪(－3,0]

D ．(－∞，－3)∪(－3,1]

(2)若g (x )＝13x 3－5

2

x 2＋4x ，则g (1＋sin x )的值域为________．

[解析] (1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧

1－2x

≥0，

x ＋3>0，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ≤0，x >－3，

∴－3

(2)设t ＝1＋sin x ，易知t ∈[0,2]，所求问题等价于求g (t )在区间[0,2]上的值域． 由g (t )＝13t 3－5

2t 2＋4t ，得g ′(t )＝t 2－5t ＋4＝(t －1)(t －4)．

由g ′(t )＝0，可得t ＝1或t ＝4. 又因为t ∈[0,2]，

所以t ＝1是g (t )的极大值点．

由g (0)＝0，g (1)＝13－52＋4＝116，g (2)＝13×23－52×22＋4×2＝2

3，得当t ∈[0,2]时，g (t )

∈⎣

⎡⎦⎤0，11

6， 即g (1＋sin x )的值域是⎣

⎡⎦⎤0，11

6.

[答案] (1)A (2)⎣

⎡⎦⎤0，116

(1)求函数定义域的类型和相应方法：

①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可.

②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义. (2)求函数值时应注意：

形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；对具有周期性的函数求值要用好其周期性.

三、预测押题不能少

1．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2x 3

，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 解析：∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝－tan π

4

＝－1， ∴f ⎝⎛⎭

⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2

(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式f (x )＝________.

解析：由题意知：a ≠0，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图像关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0，b ＝－2.所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a 2＝2.

所以f (x )＝－2x 2＋2. 答案：－2x 2＋2

函数的图像包括作图、识图、用图，其中作函数图像有两种基本方法：一是描点法；二是图像变换法，其中图像变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．

二、经典例题领悟好

[例2] (1)(2013·北京高考)函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y

＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )

A ．e x ＋

1

B ．e x －

1

C ．e

－x ＋1

D. e

－x －1

(2)函数f (x )的图像是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)，函数g (x )＝xf (x )，那么函数g (x )值域为( )

A ．[0,2] B.⎣⎡⎦⎤0，9

4 C.⎣⎡⎦

⎤0，3

2 D ．[0,4]

[解析] (1)曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，将y ＝e －x 向左平移1个单位长度得到y ＝e －(x ＋1)，即f (x )＝e －x －1.

(2)由题图可知直线OA 的方程是y ＝2x ； 而k AB ＝0－2

3－1

＝－1，

所以直线AB 的方程为y ＝－(x －3)＝－x ＋3.

由题意，知f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x ，0≤x ≤1，

－x ＋3，1

所以g (x )＝xf (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x 2，0≤x ≤1，

－x 2＋3x ，1

当0≤x ≤1时，g (x )＝2x 2∈[0,2]；

当1

4. [答案] (1)D (2)B

(1)解决“由式作图”问题主要是将解析式进行化简，然后与一些熟知的函数图像相联系，通过各种图像变换得到要求的函数图像.另外，还要善于借助解析式，发现函数的性质(如单调性、奇偶性、对称性、周期性等)，以此帮助分析函数的图像特征.

(2)根据函数的解析式判断函数的图像，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手结合给出的函数图像进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决