正多边形和圆 ppt课件
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三条边相等
四条边相等
正三 三个角相等 正方形 四个角相等
角形 （60度）。
（900）
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么 这个正多边形叫做正n边形。
问题1，什么样的图形是正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
辨析:
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? 矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;
如图，其他正多边形也有类似的结论。
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆
正多边形的中心: 一个正多边形的 外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
E
D
F
.半径R
O
中心角
C
边心距r
A
B
正多边形的边心距：
中心到正多边形的
一边的距离.
新课讲解
2．圆内接正方形的半径与边长的比值是 ________
3．圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边心 距是________
F A
BBiblioteka Baidu
E
.. O
rR
D
PC
由于ABCDEF是正六边形，所以F
它的中心角等于360 60，
6
A
OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径. B
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
E
.. O
D
r R=4
PC
在RtOP中 C ， OC4，PCBC42 22
根据勾股定理， 心可 距 r得42边 22 2 3
A
B
O
E
CF D 正多边形中的有关概念：
中心 半径 中心角 边心距
既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心
圆中满足A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A 那么弦AB、BC、CD、DE、EA B 之间又什么关系？ ∠A、∠B、 ∠C、 ∠D、∠E之间又什么关系？
C
A E
D
定义：把圆分成n（n＞2）等份，
依次连结各分点所得的多边形是这个圆
亭子的面 S积 1Lr1242 22
341.6(m2)
例2、如图：已知正六边形ABCDEF的边长为6cm，
（1）求正六边形ABCDEF的外接圆的半径。 （2）求正六边形ABCDEF的边心距。
解：（1） 作半径OA、OB； ∵OA=OB，∠AOB=60°
E
D
∴△OAB是正三角形，R=AB=6cm，
（2）作OG⊥AB于H，得Rt△OHB．F
的一个内接正n边形.
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到多边形呢？
A
D
思考1: 把一个圆4等分, 并依次连
接这些点,得到正多边形吗??
弧相等
B
C
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
例：利用尺规作图，作出已知圆的内接 正方形和内接正六边形．
O
B
DC
例4: 已知正六边形ABCDEF的半径 为R,求这个正六边形的边长a6、周 长l6、面积S6 .
ED
F
O C
A GB
当堂训练 1.课本P107第1题
120 2 2 3 1 6 3 3 3
90 90 2 2
84
120 60 2 2 3 12 6 3
例5:如图,M,N分别是⊙O内接正多边形AB,BC上
你能尺规作出正四边形吗？
A
D
O ·
B
C
只要作出已知⊙O的互 相垂直的直径即得圆 内接正方形，再过圆 心作各边的垂线与⊙O 相交，或作各中心角 的角平分线与⊙O相交， 即得圆接正八边形， 照此方法依次可作正 十六边形、正三十二 边形、正六十四边
形……
你能尺规作出正六边形吗？
F
E
O
A
·
D
B
C
以半径长在圆 周上截取六段相 等的弧，依次连 结各等分点，则 作出正六边形.
O
C
∵∠HOB=
1 2
×60°=
30°
r
R
6
AH B
答：正六边形的外接圆半径是6cm，边心距是 3 3 cm。
练习：已知正六边形ABCDEF的的边心距为
r =6cm，求正六边形ABCDEF的外接圆的 半径R。
E
D
F
O
C
R
r
AHB
例3：如图，正三角形ABC的边心距
r3
=2,求：R, A
a3 .
S3
正方形ABCD的 中心
5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的 边心距
A
D
.O
B EC
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。
7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 中心 角， 它的度数是 72度
D
E
C
.O
A
FB
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是∠（AOB） 它的度数是（60度）
9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？
E
D
解答：正六边形的半径与边
长数量关系是相等
因为：正六边形的中心角 F
是60度和半径组成的三角
.O
C
形是等边三角形，所以边
长与半径相等。
A
B
例1、 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边 形， 求地基的周长和面积
先作出正六边 形，则可作正三 角形，正十二边 形，正二十四边
形………
抢答题：
1.o是正△ABC的中心，它是△ABC的外接圆
与 内切圆的圆心。
A
2、OB叫正△ABC的半径
它是正△ABC的外接圆的半径。
3、OD叫作正△ABC的边心距
它是正△ABC的 内切圆
的半径。
B
.O
D
C
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等; 正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.
做一做
分别画出图中各正多边形的对称轴，看看你能发 现什么规律？
以正五边形为例，如图，我们发现正五边形有五条对称轴，而且这些 对称轴都交于一点O。根据轴对称的性质，我们知道这些对称轴是正 五边形各边的垂直平分线，因而点O到正五边形各个顶点的距离相等， 记为R。那么以点O为圆心，R为半径的圆就过正五边形的各个顶点， 它是该正五边形的外接圆。另外，这些对称轴也是正五边形各内角的 平分线，根据角平分线的性质，点O到各边距离都相等，记为r，那么 以点O为圆心，r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五 边形的内切圆。
的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中∠MON=
;
图③中∠MON=
;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关
系.；四边形MONB的面积与正n边形面积之间的
关系A
A
E D
M .O
M
.O
A
.O
D
M
B
N CB
NC
B NC
练习；
1、两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正 六边形的面积之比等于________
四条边相等
正三 三个角相等 正方形 四个角相等
角形 （60度）。
（900）
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么 这个正多边形叫做正n边形。
问题1，什么样的图形是正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.
辨析:
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? 矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;
如图，其他正多边形也有类似的结论。
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆
正多边形的中心: 一个正多边形的 外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
E
D
F
.半径R
O
中心角
C
边心距r
A
B
正多边形的边心距：
中心到正多边形的
一边的距离.
新课讲解
2．圆内接正方形的半径与边长的比值是 ________
3．圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边心 距是________
F A
BBiblioteka Baidu
E
.. O
rR
D
PC
由于ABCDEF是正六边形，所以F
它的中心角等于360 60，
6
A
OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径. B
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
E
.. O
D
r R=4
PC
在RtOP中 C ， OC4，PCBC42 22
根据勾股定理， 心可 距 r得42边 22 2 3
A
B
O
E
CF D 正多边形中的有关概念：
中心 半径 中心角 边心距
既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心
圆中满足A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A 那么弦AB、BC、CD、DE、EA B 之间又什么关系？ ∠A、∠B、 ∠C、 ∠D、∠E之间又什么关系？
C
A E
D
定义：把圆分成n（n＞2）等份，
依次连结各分点所得的多边形是这个圆
亭子的面 S积 1Lr1242 22
341.6(m2)
例2、如图：已知正六边形ABCDEF的边长为6cm，
（1）求正六边形ABCDEF的外接圆的半径。 （2）求正六边形ABCDEF的边心距。
解：（1） 作半径OA、OB； ∵OA=OB，∠AOB=60°
E
D
∴△OAB是正三角形，R=AB=6cm，
（2）作OG⊥AB于H，得Rt△OHB．F
的一个内接正n边形.
正n边形与圆的关系
1.把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.
2.怎样由圆得到多边形呢？
A
D
思考1: 把一个圆4等分, 并依次连
接这些点,得到正多边形吗??
弧相等
B
C
弦相等（多边形的边相等）
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
例：利用尺规作图，作出已知圆的内接 正方形和内接正六边形．
O
B
DC
例4: 已知正六边形ABCDEF的半径 为R,求这个正六边形的边长a6、周 长l6、面积S6 .
ED
F
O C
A GB
当堂训练 1.课本P107第1题
120 2 2 3 1 6 3 3 3
90 90 2 2
84
120 60 2 2 3 12 6 3
例5:如图,M,N分别是⊙O内接正多边形AB,BC上
你能尺规作出正四边形吗？
A
D
O ·
B
C
只要作出已知⊙O的互 相垂直的直径即得圆 内接正方形，再过圆 心作各边的垂线与⊙O 相交，或作各中心角 的角平分线与⊙O相交， 即得圆接正八边形， 照此方法依次可作正 十六边形、正三十二 边形、正六十四边
形……
你能尺规作出正六边形吗？
F
E
O
A
·
D
B
C
以半径长在圆 周上截取六段相 等的弧，依次连 结各等分点，则 作出正六边形.
O
C
∵∠HOB=
1 2
×60°=
30°
r
R
6
AH B
答：正六边形的外接圆半径是6cm，边心距是 3 3 cm。
练习：已知正六边形ABCDEF的的边心距为
r =6cm，求正六边形ABCDEF的外接圆的 半径R。
E
D
F
O
C
R
r
AHB
例3：如图，正三角形ABC的边心距
r3
=2,求：R, A
a3 .
S3
正方形ABCD的 中心
5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做
正方形ABCD的 边心距
A
D
.O
B EC
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的
弦心距OF叫正五边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。
7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 中心 角， 它的度数是 72度
D
E
C
.O
A
FB
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是∠（AOB） 它的度数是（60度）
9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有
什么数量关系？为什么？
E
D
解答：正六边形的半径与边
长数量关系是相等
因为：正六边形的中心角 F
是60度和半径组成的三角
.O
C
形是等边三角形，所以边
长与半径相等。
A
B
例1、 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边 形， 求地基的周长和面积
先作出正六边 形，则可作正三 角形，正十二边 形，正二十四边
形………
抢答题：
1.o是正△ABC的中心，它是△ABC的外接圆
与 内切圆的圆心。
A
2、OB叫正△ABC的半径
它是正△ABC的外接圆的半径。
3、OD叫作正△ABC的边心距
它是正△ABC的 内切圆
的半径。
B
.O
D
C
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做
菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等; 正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.
做一做
分别画出图中各正多边形的对称轴，看看你能发 现什么规律？
以正五边形为例，如图，我们发现正五边形有五条对称轴，而且这些 对称轴都交于一点O。根据轴对称的性质，我们知道这些对称轴是正 五边形各边的垂直平分线，因而点O到正五边形各个顶点的距离相等， 记为R。那么以点O为圆心，R为半径的圆就过正五边形的各个顶点， 它是该正五边形的外接圆。另外，这些对称轴也是正五边形各内角的 平分线，根据角平分线的性质，点O到各边距离都相等，记为r，那么 以点O为圆心，r为半径的圆就与正五边形的各条边都相切，它是正五 边形的内切圆。
的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON的度数;
(2)图②中∠MON=
;
图③中∠MON=
;
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关
系.；四边形MONB的面积与正n边形面积之间的
关系A
A
E D
M .O
M
.O
A
.O
D
M
B
N CB
NC
B NC
练习；
1、两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正 六边形的面积之比等于________