第7章 内压薄壁容器的应力分析

一、薄壁容器及其应力特点
环向（轴向）应力：当其承受内压力P作用以后， 环向（轴向）应力：当其承受内压力P作用以后，其直径要 稍微增大，故筒壁内的“环向纤维”要伸长， 稍微增大，故筒壁内的“环向纤维”要伸长，因此在筒体的 纵向截面上必定有应力产生，此应力称为环向应力， 纵向截面上必定有应力产生，此应力称为环向应力，以σθ 表示。由于筒壁很薄，可以认为环向应力沿壁厚均匀分布。 表示。由于筒壁很薄，可以认为环向应力沿壁厚均匀分布。 经向（轴向）应力：鉴于容器两端是封闭的，在承受内压后， 经向（轴向）应力：鉴于容器两端是封闭的，在承受内压后， 筒体的“纵向纤维”也要伸长，则筒体横向截面内也必定有 筒体的“纵向纤维”也要伸长， 应力产生，此应力称为经向（轴向）应力， σm（ 应力产生，此应力称为经向（轴向）应力，以σm（σф）表 示。
三、环向应力计算－微体平衡方程 环向应力计算－
2.微元体的受力分析 2.微元体的受力分析
微单元体的上下面：经向应力σ 微单元体的上下面：经向应力σm ； 内表面： 作用； 内表面：内压p作用； 外表面不受力 不受力； 外表面不受力； 两个与纵截面相应的面：环向应力σ 两个与纵截面相应的面：环向应力σθ。
三、环向应力计算－微体平衡方程 环向应力计算－
3.微元体的静力平衡方程 3.微元体的静力平衡方程
微元体在其法线方向的平衡，故所有的外载和内力的合力 微元体在其法线方向的平衡， 都取沿微元体法线方向的分量。 都取沿微元体法线方向的分量。 在微元体abcd面积沿法线n abcd面积沿法线 内压p在微元体abcd面积沿法线n的合力Pn为： pn = pdl1 ⋅ dl2 经向应力的合力在法线方向上的分量Nmn为：
典型回转壳体的第一、 典型回转壳体的第一、 第二曲率半径举例
第一曲率半径
第二曲率半径
一、基本概念与基本假设
2.基本假设 2.基本假设
除假定壳体是完全弹性的 即材料具有连续性、 除假定壳体是完全弹性的，即材料具有连续性、均匀性性 完全弹性 连续性 各向同性；薄壁壳体通常还做以下假设使问题简化： 和各向同性；薄壁壳体通常还做以下假设使问题简化： ⑴ 小位移假设 壳体受力以后，各点的位移都远小于壁厚。 壳体受力以后，各点的位移都远小于壁厚。壳体变形 后可以用变形前的尺寸来代替。 后可以用变形前的尺寸来代替。 ⑵ 直法线假设 壳体在变形前垂直于中间面的直线段， 壳体在变形前垂直于中间面的直线段，在变形后仍保 持直线，并垂直于变形后的中间面。 持直线，并垂直于变形后的中间面。变形前后的法向 线段长度不变，沿厚度各点的法向位移均相同， 线段长度不变，沿厚度各点的法向位移均相同，变形 前后壳体壁厚不变。 前后壳体壁厚不变。 ⑶ 不挤压假设 壳体各层纤维变形前后相互不挤压。壳壁法向（ 壳体各层纤维变形前后相互不挤压。壳壁法向（半径 方向） 方向）的应力与壳壁其他应力分量比较是可以忽略的 微小量，其结果就变为平面问题。 微小量，其结果就变为平面问题。
4.薄膜理论 4.薄膜理论
上述推导和分析的前提是应力沿壁厚方向均匀分布， 上述推导和分析的前提是应力沿壁厚方向均匀分布，这 应力沿壁厚方向均匀分布 器壁较薄以及边缘区域稍远才是正确的 种情况只有当器壁较薄以及边缘区域稍远才是正确的。 种情况只有当器壁较薄以及边缘区域稍远才是正确的。 这种应力与承受内压的薄膜非常相似，又称之为薄膜理 这种应力与承受内压的薄膜非常相似，又称之为薄膜理 论或无力矩理论。 论或无力矩理论。
如果S/D ≤0.1或 ≤1.2则为薄壁容器； 则为薄壁容器 如果S/Di≤0.1或K=DO/Di≤1.2则为薄壁容器； 如果S/D 0.1 0.1或 1.2则为厚壁容器。 如果S/Di>0.1或K=DO/Di>1.2则为厚壁容器。 1.2则为厚壁容器
注：S为容器壁厚，DO、Di分别容器的外直径与内直径 为容器壁厚，
第七章 内压薄壁容器的应力分析
第一节 第二节 第三节 第四节 内压薄壁圆筒的应力分析 回转壳体的应力分析－ 回转壳体的应力分析－薄膜应力理论 薄膜理论的应用 内压圆筒边缘应力的概念
第一节 内压薄壁圆筒的应力分析 一、薄壁容器及其应力特点 二、内压圆筒的应力计算公式
一、薄壁容器及其应力特点
1.薄壁容器与厚壁容器
严格地讲， 【提示】在计算作用于封头上的总压力Pz时，严格地讲，应采用筒体 提示】 内径，但为了使公式简化，此处近似地采用平均直径D 内径，但为了使公式简化，此处近似地采用平均直径D。
二、内压圆筒的应力计算公式
2.环向应力σ 2.环向应力σθ的计算公式 环向应力
分离体的取法：用一通过圆筒轴线的纵截面B 将圆筒剖开， 分离体的取法：用一通过圆筒轴线的纵截面B-B将圆筒剖开，移走上半 的筒体作为分离体。 部，再从下半个圆筒上截取长度为L的筒体作为分离体。
N m n = 2σ mSdl2 ⋅ sin dθ1 2
环向应力的合力在法线方向的分量Nθn为：
Nθ n
dθ 2 = 2σ θ Sdl1 ⋅ sin 2
三、环向应力计算－微体平衡方程 环向应力计算－
3.微元体的静力平衡方程 3.微元体的静力平衡方程
由法线n方向力的平衡条件 ∑ Fn = 0 ，即：Pn-Nmn-Nθn=0 由法线n dθ1 dθ 2 pdl1 ⋅ dl2- 2σ mSdl2 ⋅ sin ( ) - 2σθ Sdl1 ⋅ sin ( )=0 2 2 注意简化】 都很小，所以有： 【注意简化】：因dθ1及dθ2都很小，所以有：
二、经向应力计算公式－区域平衡方程 经向应力计算公式－
2.静力分析 2.静力分析 作用在分离体上外力在轴向的合力Pz为： p z =
π
4
D2 p
截面上应力的合力在Z 截面上应力的合力在Z轴上的投影Nz为： N z = σ m ⋅ πDS ⋅ sinθ 平衡条件 ∑ Fz = 0 得：Pz－Nz＝0，即： π 2 D p - σ mπDSsin θ = 0
第二节 回转壳体的薄膜理论
一、基本概念与基本假设 经向应力计算公式－ 二、经向应力计算公式－区域平衡方程式 环向应力计算公式－ 三、环向应力计算公式－微体平衡方程式 四、轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围
一、基本概念与基本假设
1.基本概念 1.基本概念
⑴回转壳体：壳体的中间面是直线或平面曲线绕其同平 回转壳体： 面内的固定轴线旋转360 而成的壳体。 面内的固定轴线旋转3600而成的壳体。 轴对称：壳体的几何形状 约束条件和所受外力都是 几何形状、 和所受外力 ⑵轴对称：壳体的几何形状、约束条件和所受外力都是 对称于回转轴的。 对称于回转轴的。
一、基本概念与基本假设
1.基本概念 1.基本概念
⑺纬线：如果作圆锥面与壳体中 纬线： 间面正交，得到的交线叫做“ 间面正交，得到的交线叫做“纬 线”；过N点作垂直于回转铀的平 面与中间面相割形成的圆称为 平行圆” 平行圆即是纬线。 “平行圆”，平行圆即是纬线。 第一曲率半径： ⑻第一曲率半径：中间面上任一 处经线的曲率半径， 点M处经线的曲率半径，Rl=MK1。 ※※⑼ 第二曲率半径： ※※⑼ 第二曲率半径：过经线上 一点M 一点M的法线作垂直于经线的平面 与中间面相割形成的曲线ME ME， 与中间面相割形成的曲线ME，此 曲线在M 曲线在M点处的曲率半径称为该点 的第二曲率半径R 的第二曲率半径R2。第二曲率半径 的中心K 落在回转轴上， 的中心K2落在回转轴上，R2=MK2。
p y = ∫ Rilpdθ sinθ = Rilp ∫ sinθdθ = 2 Rilp = Dilp ≈ Dlp
0 0
π
π
N y = 2 Sl ⋅ σ θ
由
∑F
y
= 0 得：Py－Ny＝0
→
Dlp = 2Sl ⋅ σ θ
→
pD σθ = 2S
薄壁圆筒承受内压时，其环向应力是轴向应力的两倍。 薄壁圆筒承受内压时，其环向应力是轴向应力的两倍。
dθ dθ 1 dl1 sin ( 1 ) ≈ 1 = 2 2 2 R1
sin ( dθ 2 dθ 1 dl2 )≈ 2 = 2 2 2 R2
代入平衡方程式， 整理得： 代入平衡方程式，并对各项都除以Sdl1dl2整理得：
微体平衡方程
σ m σθ p + = R1 R 2 S
三、环向应力计算－微体平衡方程 环向应力计算－
二、内压圆筒的应力计算公式
3.内压薄壁圆筒的应力特点在工程中的应用 3.内压薄壁圆筒的应力特点在工程中的应用
⑴在圆筒上开设椭圆形孔时，应使椭圆孔之短轴平行于筒体 在圆筒上开设椭圆形孔时， 的轴线，以尽量减小纵截面的削弱程度， 的轴线，以尽量减小纵截面的削弱程度，从而使环向应力增 加少一些。 加少一些。 筒体承受内压时，筒壁内的应力与壁厚S成反比，与中径D ⑵筒体承受内压时，筒壁内的应力与壁厚S成反比，与中径D 成正比。 成正比。
二、经向应力计算公式－区域平衡方程 经向应力计算公式－
1.取分离体 1.取分离体 求经向应力时，采用的假想截面不是垂直于轴线的横截面， 求经向应力时，采用的假想截面不是垂直于轴线的横截面， 而是与壳体正交的圆锥面。 而是与壳体正交的圆锥面。为了求得任一纬线上的经向应 必须以该纬线为锥底作一圆锥面， 力，必须以该纬线为锥底作一圆锥面，其顶点在壳体轴线 上，圆锥面的母线长度即是由转壳体曲面在该纬线上的第 二曲率半径R 如图所示。圆锥面将壳体分成两部分， 二曲率半径R2，如图所示。圆锥面将壳体分成两部分，现 取其下部分作分离体。 取其下部分作分离体。
4
由几何关系知 R 2 =
D 2sinθ
→
D = 2R 2sinθ
区域平衡方程式
σm =
pR 2 2S
三、环向应力计算－微体平衡方程 环向应力计算－
1.微元体的取法 1.微元体的取法
三对曲面截取微元体： 三对曲面截取微元体： 一是壳体的内外表面； 一是壳体的内外表面； 二是两个相邻的、通过壳体轴线的经线平面； 二是两个相邻的、通过壳体轴线的经线平面； 三是两个相邻的、与壳体正交的圆锥面。 三是两个相邻的、与壳体正交的圆锥面。
一、基本概念与基本假设
1.基本概念 1.基本概念
⑶ 中间面：中间面是与壳体内外表面等距离的中曲面， 中间面：中间面是与壳体内外表面等距离的中曲面， 内外表面间的法向距离即为壳体壁厚。 内外表面间的法向距离即为壳体壁厚。 母线： ⑷ 母线：回转壳体的中间面是由平面曲线绕回转轴旋转 一周而成的，形成中间面的平面曲线称为母线。 一周而成的，形成中间面的平面曲线称为母线。 经线： ⑸ 经线：过回转轴作一纵截面 与壳体曲面相交所得的交线。 与壳体曲面相交所得的交线。 经线与母线的形状完全相同。 经线与母线的形状完全相同。 法线：过经线上任意一点M ⑹ 法线：过经线上任意一点 垂直于中间面的直线， 垂直于中间面的直线，称为中 间面在该点的法线。 间面在该点的法线。法线的延 长线必与回转轴相交。 长线必与回转轴相交。
二、内压圆筒的应力计算公式
1.轴向应力σ 1.轴向应力σm的计算公式 轴向应力
介质压力在轴向的合力Pz为：
pz =
π
4
× D i2 p ≈
π
4
D2 p
圆筒形截面上内力为应力的合 力Nz：
N z = πDSσ m
由平衡条件
π
4
2
Leabharlann Baidu
∑F
z
=0
得：Pz－Nz＝0
D p = πDSσ m
→
pD σm = 4S
一、薄壁容器及其应力特点
2.薄壁容器的应力特点 2.薄壁容器的应力特点
薄膜应力：容器的圆筒中段① 薄膜应力：容器的圆筒中段①处， 可以忽略薄壁圆筒变形前后圆周方 向曲率半径变大所引起的弯曲应力。 向曲率半径变大所引起的弯曲应力。 无力矩理论来计算。 用无力矩理论来计算。 弯曲应力：在凸形封头、 弯曲应力：在凸形封头、平底盖与 筒体联接处②和③，则因封头与平 筒体联接处② 底的变形小于筒体部分的变形， 底的变形小于筒体部分的变形，边 缘连接处由于变形谐调形成一种机 械约束， 械约束，从而导致在边缘附近产生 附加的弯曲应力。必须用复杂的有 附加的弯曲应力。必须用复杂的有 力矩理论及变形谐调条件才能计算 才能计算。 力矩理论及变形谐调条件才能计算。
一、基本概念与基本假设
1.基本概念 1.基本概念
第一曲率半径与母线有关； 第一曲率半径与母线有关； 第二曲率半径与回转轴位置 有关； 有关； 母线
回转轴
A R2 R1 O1 O
问题1.第一曲率半径与第二曲 问题1.第一曲率半径与第二曲 1. 率半径哪个大？ 率半径哪个大？ 问题2 问题2.第一曲率半径与第二曲 率半径有什么关系？ 率半径有什么关系？