15二重积分计算(极坐标与换元法)
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高等数学（下）主讲杨益民
二、利用极坐标计算二重积分 1.公式: 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
y
k k
k
k (k 1, 2,
, n)
o
r rk
k
x
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
2 2 1 k 1 ( r r ) r k k 2 k 2 k k
dxdy
sin r 4 d rdr 4 0 1 r
2
2018年5月16日星期三
9
高等数学（下）主讲杨益民
例 12 求曲线 ( x y ) 2a ( x y ) 和 x 2 y 2 a 2
2 2 2 2 2 2
所围成的图形的面积。
解： 根据对称性有 D 4 D1
x r cos 解: 在极坐标系下 y r sin
所以圆方程为 r 1,
x2 y2 1
1 直线方程为 r , sin cos
x y 1
f ( x, y )dxdy
D
2018年5月16日星期三
2
0
d
1
1 sin cos
解：D : 0 r 2 a cos , 0 由对称性可知
2
x2 y2 z 2 4 a2
V 4
D
4 a 2 r 2 r d r d
x2 y2 2 a x z 0
2018年5月16日星期三
7
高等数学（下）主讲杨益民
例 10 计算
D
o
d
0
2018年5月16日星期三
2
( )
0
f (r cos , r sin )rdr
3
高等数学（下）主讲杨益民
若 f ≡1 则可求得D 的面积
1 2 2 d ( )d 0 2 D
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 问 的变化范围是什么? (1)
r ( )
f (r cos , r sin )rdrd
D
D
d
( )
0
f (r cos , r sin )rdr
o
0 r ( ) (3) D : 0 2
r ( )
D
f (r cos , r sin )rdrd
6
x 2 y 2 2 y r 2 sin
( x
D
2
y )dxdy d
2
6
3
r rdr 15( 3) 2 sin 2
2
8
4 sin
2018年5月16日星期三
高等数学（下）主讲杨益民
sin( x 2 y 2 ) dxdy, 其中积分区 例 11 计算二重积分 2 2 x y D
2 2 2 2 x y 2 y， ，其中： D 由 ( x y ) dxdy
D
x 2 y 2 4 y ， x 3 y 0， y 3x 0 所围成。 解： y 3x 0 2 3 x 2 y 2 4 y r 4 sin
x 3 y 0 1
y
r ( )
(2)
y
r ( )
D
o
x
D
x
o
答:
(1) 0 ;
(2)
2
2
4
2018年5月16日星期三
高等数学（下）主讲杨益民
例二次积分形式，其
D
中积分区域 D {( x , y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1}。
f (r cos , r sin )rdrd
D
r 2 ( )
D
d
2( )
1( )
f (r cos , r sin )rdr
o
r 1 ( )
2018年5月16日星期三
2
高等数学（下）主讲杨益民
0 r ( ) (2) D : 0 2
在极坐标系下
D1
x 2 y 2 a 2 r a,
( x 2 y 2 )2 2a 2 ( x 2 y 2 ) r a 2cos 2
r a 2 cos 2 由 ， 得交点 A ( a, ) ，所以 6 ra
S 4 dxdy 4 d
2 2 D {( x , y ) | 1 x y 4}。 域为:
解： 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D 4 D1
注意：被积函数是关于 x、y 的双偶函数。
D
sin( x 2 y 2 ) x2 y2
2
dxdy 4
D1
sin( x 2 y 2 ) x2 y2
0
k 1
n
即:
Dxy
f ( x, y )d f (r cos , r sin ) r d r d
Dr
2. 计算方法（二重积分化为累次积分）
r 2 ( )
D
1 ( ) r 2 ( ) (1) D :
o
r 1 ( )
( rk , k )
(rk 1 2 rk )rk k
在
rk rk k
k 内取点 (rk , k ),
k
对应有
rk
rk
k rk cos k , k rk sin k
2018年5月16日星期三
1
高等数学（下）主讲杨益民
lim f ( rk cos k , rk sin k )rk rk k
f ( r cos , r sin )rdr .
5
高等数学（下）主讲杨益民
例7 证明 特别地, 当D为 R2 时,
。
利用例7的结果, 得
例8 计算
2018年5月16日星期三
0
e
x2
dx
2
概率积分公式
。
6
高等数学（下）主讲杨益民
例9 求球体
被圆柱面 x 2 y 2 2 a x 所截得的(含在柱面内的)立体的体积。
二、利用极坐标计算二重积分 1.公式: 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
y
k k
k
k (k 1, 2,
, n)
o
r rk
k
x
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
2 2 1 k 1 ( r r ) r k k 2 k 2 k k
dxdy
sin r 4 d rdr 4 0 1 r
2
2018年5月16日星期三
9
高等数学（下）主讲杨益民
例 12 求曲线 ( x y ) 2a ( x y ) 和 x 2 y 2 a 2
2 2 2 2 2 2
所围成的图形的面积。
解： 根据对称性有 D 4 D1
x r cos 解: 在极坐标系下 y r sin
所以圆方程为 r 1,
x2 y2 1
1 直线方程为 r , sin cos
x y 1
f ( x, y )dxdy
D
2018年5月16日星期三
2
0
d
1
1 sin cos
解：D : 0 r 2 a cos , 0 由对称性可知
2
x2 y2 z 2 4 a2
V 4
D
4 a 2 r 2 r d r d
x2 y2 2 a x z 0
2018年5月16日星期三
7
高等数学（下）主讲杨益民
例 10 计算
D
o
d
0
2018年5月16日星期三
2
( )
0
f (r cos , r sin )rdr
3
高等数学（下）主讲杨益民
若 f ≡1 则可求得D 的面积
1 2 2 d ( )d 0 2 D
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 问 的变化范围是什么? (1)
r ( )
f (r cos , r sin )rdrd
D
D
d
( )
0
f (r cos , r sin )rdr
o
0 r ( ) (3) D : 0 2
r ( )
D
f (r cos , r sin )rdrd
6
x 2 y 2 2 y r 2 sin
( x
D
2
y )dxdy d
2
6
3
r rdr 15( 3) 2 sin 2
2
8
4 sin
2018年5月16日星期三
高等数学（下）主讲杨益民
sin( x 2 y 2 ) dxdy, 其中积分区 例 11 计算二重积分 2 2 x y D
2 2 2 2 x y 2 y， ，其中： D 由 ( x y ) dxdy
D
x 2 y 2 4 y ， x 3 y 0， y 3x 0 所围成。 解： y 3x 0 2 3 x 2 y 2 4 y r 4 sin
x 3 y 0 1
y
r ( )
(2)
y
r ( )
D
o
x
D
x
o
答:
(1) 0 ;
(2)
2
2
4
2018年5月16日星期三
高等数学（下）主讲杨益民
例二次积分形式，其
D
中积分区域 D {( x , y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1}。
f (r cos , r sin )rdrd
D
r 2 ( )
D
d
2( )
1( )
f (r cos , r sin )rdr
o
r 1 ( )
2018年5月16日星期三
2
高等数学（下）主讲杨益民
0 r ( ) (2) D : 0 2
在极坐标系下
D1
x 2 y 2 a 2 r a,
( x 2 y 2 )2 2a 2 ( x 2 y 2 ) r a 2cos 2
r a 2 cos 2 由 ， 得交点 A ( a, ) ，所以 6 ra
S 4 dxdy 4 d
2 2 D {( x , y ) | 1 x y 4}。 域为:
解： 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D 4 D1
注意：被积函数是关于 x、y 的双偶函数。
D
sin( x 2 y 2 ) x2 y2
2
dxdy 4
D1
sin( x 2 y 2 ) x2 y2
0
k 1
n
即:
Dxy
f ( x, y )d f (r cos , r sin ) r d r d
Dr
2. 计算方法（二重积分化为累次积分）
r 2 ( )
D
1 ( ) r 2 ( ) (1) D :
o
r 1 ( )
( rk , k )
(rk 1 2 rk )rk k
在
rk rk k
k 内取点 (rk , k ),
k
对应有
rk
rk
k rk cos k , k rk sin k
2018年5月16日星期三
1
高等数学（下）主讲杨益民
lim f ( rk cos k , rk sin k )rk rk k
f ( r cos , r sin )rdr .
5
高等数学（下）主讲杨益民
例7 证明 特别地, 当D为 R2 时,
。
利用例7的结果, 得
例8 计算
2018年5月16日星期三
0
e
x2
dx
2
概率积分公式
。
6
高等数学（下）主讲杨益民
例9 求球体
被圆柱面 x 2 y 2 2 a x 所截得的(含在柱面内的)立体的体积。