5.2 三铰拱的内力计算

FVA=70kN
l=16m q=10kN/m A D FP=40kN B
0 M C 50 8 40 4 FH f 4
C 16m
E
60 kN （推力）
0 FVA
0 FVB
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(2)计算各截面几何参数（y和φ ）
1) 求 y：将l 和f 代入拱轴线方程
4f y 2 x(l x) l
拉杆
FVA
l/2 l
FP1
A
FP2
C
FP3
B F l/2 l
0 FVB
D E
0 FVA
l/2
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(1)计算支座反力
由整体平衡条件∑Fx = 0、 ∑MB = 0和∑MA = 0，可分别求 得
FH
A
FP1
D
FP2
E
I C
lCF FP3
F B I l/2 FVB
f
拉杆
FVA
l/2 l
0 0 FH 0, FV A FV A , F V B FV B
e1
须注意两个计算特点：一是要考虑偏心矩e1， 二是左、右半跨屋面倾角φ为定值。 于是，可参照式(4-6)写出拱身内力计算式为
M M 0 FS ( y e1 )
0 FQ FQ cos FS sin 0 FN FQ sin FS cos
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0 1）弯矩计算 M E M E FH y E 200 60 3 20 kN m
FH=60kN y A x FVA=70kN 4m 4m 4m l=16m 4m FVB=50kN
q=10kN/m
C D
FP=40kN
E
f=4m
E yE
B
FH=60kN
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2）剪力计算（注意E点左右截面剪力不同，有突变）
3）轴力计算 （注意E点左右截面轴力不同，有突变）
FNE左 FNE右
0 FNE左 sin E FH cos E
(10)( 0.447 ) (60)(0.894 ) 58 .11 kN
0 FNE右 sin E FH cos E
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三、内力图的绘制
1）一般可将拱沿跨长分为若干等分（如8、12…等分） 2）应用式（4-2）分别计算其内力值（注意：各截面的
x、y和 φ 均不相同，可列表计算，见例4-1），
3）然后逐点描迹，连成曲线。 弯矩绘在受拉侧，剪力图和轴力图须注明正负号。
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4f y 2 x(l x)，试作图示三铰拱的内力图 【例5-1】已知拱轴线方程 l
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四、带拉杆的三铰拱和三铰拱式屋架的计算 【例5-2】试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用 下的支座反力和内力。 FP3 FP2 I l
FP1
CF
E
C
解：该三铰拱由拉杆AB来 阻止支座的水平位移，因 此，拱的一个支座可改为 可动铰支座。相当简支梁 如图所示
FH
A
D
f
F B I l/2 FVB
【例5-3】求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支反力和内力。 解： (1) 计算支座反力
q
0 VB
FH 0, FV A F , F V B F
0 VA
y FH FVA

A
C
x
f
B FVB
0 MC (2)计算拉杆内力： S F f
(3)计算拱身内力
钢拉杆（拉力FS） l/2 l/2 l
0 FVA
l/2 l
l/2
拱的竖向反力与相当简支梁的竖向反力相同
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2、水平支座反力
a2
由三铰拱整体平衡 条件 Fx 0 ，可得 FHA = FHB = FH 取铰C左边隔离体， 由
FHA A FVA
a1 FP1 K C y x f
FP2 FHB
B FVB
l/2 l
l/2
M
(50)( 0.447 ) (60)(0.894 ) 75 .99 kN
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用同样方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算， 如表4-1所示。
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(4)作内力图
60.6 60 60.6
58.1 D A C
D A
C
5
E
5 91.9
B
78
A
试求指定截面K的内力。约定弯矩以拱内侧受拉为正。
a1 FP1 a2
K C
FP2
B FHB l/2
FQ
0
FQ sin 0 FQ o s c
0

FP1
FH cos


t
x
y
FH
A
x FVA
K F y M H
R
FH s in

(2) 由∑FR=0，得
0 FQ FQ cos FH sin
FVA
5.2 三铰拱的内力计算
一、支座反力的计算
1、竖向支座反力
a2 a1 FP1 FHA
K C f
FP2 B FVB FHB
y
A FVA x
M
B
0
类似三铰刚架求法
0 FV A FV A
l/2 l FP1
l/2
MA 0
FV B F
0 VB
FP2 K C
0 MC
0 FHA 0 A
B
0 FVB
C
0 ，可得
0 FHA 0
FP1
A K C
0 MC
FP2
B
0 FVB
l l FV A FP 1 a1 FH f 0 2 2
0 M C FH f 0
0 MC FH f
0 FVA
l/2
l/2
l
类似平行弦桁架的弦杆内力与 相应梁截面弯矩的内力关系
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小 结
(1) 三铰拱支座反力计算公式为
0 FV A FV A 0 FV B FV B
FP1 K C FHA y A FVA x l/2 l l/ 2 f
FP2 B FVB FHB
FH
M f
wk.baidu.com
0 C
(2) 支座反力与 l 和 f（亦即三个铰的位置）以及荷载
情况有关，而与拱轴线形式无关。
l/2 l FP1
FVB
(3) 由∑Ft=0，得
0 FN FQ sin FH cos
FP2
0
A
K C
0 MC
FP1
B
A
0 FVA
K
0 FQ
M0
F
0 VA
l/2
l/2
0 FVB
l
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小
结
M M 0 FH y
0 FQ FQ cos FH sin 0 FN FQ sin FH cos
0 FQ E左 FQE左 cos E FH sin E (10 )(0.894 ) (60 )( 0.447 ) 17 .88 kN F 0 FQE右 cos E FH sin E Q E右 (50)(0.894 ) (60 )( 0.447 ) 17 .88 kN
4m
FVB=50kN
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【讨论】对于如图所示的二次抛物线三铰拱： (1) 当仅在左半跨或右半跨作用均布荷 载q时，其M图都是反对称的，如图所 示；而FQ图都是对称的。
q
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
67
76
78 77.8
B
15
20
15
20
E
M图(kN· m)
FN图(kN)
q=10kN/m C 4.9
FP=40kN C E E yE B FH=60kN
17.9
E y A D x FVA=70kN 4m 4m
4 7.1
A
D 4.9
10
17.9
4
7
B
FH=60kN
f=4m
FQ图(kN)
4m l=16m
(3) 推力 FH与拱高 f 成反比。拱愈低，推力愈大；
如果 f → 0，则 FH → ∞，这时，三铰在一直线上，
成为几何可变体系。
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二、内力的计算
(1) 由∑MK=0，得
0 M FVA x FP 1 ( x a1 ) FH y M 0 FH y FHA
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(2) 显见，当全跨同时作用均布荷载q时，M图将为零，FQ图 也将为零(只须将相应内力图相叠加，即可得到验证)，拱仅 受轴向压力FN作用。
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
(3) 这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线，是最 合理的拱轴线。
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a2 a1 FP1 FHA x
K C
FP2 FHB
F
0 Q
y
B
A
FH
A
FP1 K FH s in y M FH x
0 FQ sin 0 FQ s co
FH cos
t
FVA
l/2
l/2
FVB
FVA
R
l
(4) 内力与拱轴线形状 ( y , )有关。 (5) 关于 值的正负号：左半跨 取正号；右半跨 取负 号，即式(4-2)中，cos(- ) = cos ，sin(- ) = -sin 。
(1) 三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）：
(2) 由于推力的存在（前两式右边第二项），拱与相当简 支梁相比：其截面上的弯矩和剪力将减小。弯矩的降低， 使拱能更充分地发挥材料的作用。
(3) 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截
面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为正、压 力为负）
FP1
A
FP2
C
FP3
B F l/2 l
0 FVB
FH=0是其计算特点之一 (2)计算拉杆内力
取截面I-I之右为隔离体。 由∑MC = 0，得
l FS (FVB FP 3 lCF )/f 2
D E
0 FVA
l/2
FCx
I
FCy
C
FP3
F B I
FS
0 MC
FS
l/2
f
FVB
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代入各x值，即可查得相应的φ值。 为绘内力图将拱沿跨度分为8个等 分，共计有9个控制截面，求出各 截面的y、φ 等值，列于下表中。
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16m
0 FVB
(3)计算内力
以截面E为例，计算其内力值。 将x =12m代入y 和 y 式中， 得 yE = 3m， E y = -0.5， tan E 查得 φ E = -26º34′。 因此有 sinφ E = -0.447 cosφ E = 0.894 将上述截面E的各相关值代入内力计算公式，即可得各内力值
(3)计算拱身内力
在无拉杆三铰拱的内力计算式中，只须用FS去取代FH， 即可得出有水平拉杆拱身内力计算式为
M M FS y
0
I
FCy
C
FCx
FP3
F B
FQ F cos FS sin
0 Q
FN F sin FS cos
0 Q
FS
I l/2
FVB
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y
FH=60kN A x FVA=70kN 4m 4m 4m 4m FVB=50kN q=10kN/m FP=40kN C E E yE B FH=60kN
D
f=4m
x 得 y x 16 x 2) 求φ tan y 1
2
l=16m
q=10kN/m A D
0 FVA
8
FP=40kN B C E
解： (1) 计算支座反力
FV A 40 4 10 8 12 F FH=60kN 16 70 kN ） （
0 VA
q=10kN/m y A
FP=40kN C E E yE B
D
f=4m
FH=60kN
x
4m 4m 4m 4m FVB=50kN
FV B FV0B
10 8 4 40 12 16 50 kN ） （