矢量运算基础

矢量运算基础
矢积的性质： 矢积的性质：
A× B = −B× A 不遵守交换律 A×(α B + βC) = α A× B + β A×C A× A = 0
但遵守分配律
i ×i = j × j = k × k = 0 i × j =k j ×k = i k ×i = j
i A× B = Ax Bx j Ay By k Az Bz
0
θ
2
Bcosθ
A
特别注意： 特别注意： 若
A⋅ A = A ≥ 0
B=0 A⊥ B
A⋅ B = 0 可能 A = 0
矢量运算基础
标积的 性质： 性质：
A⋅ B = B⋅ A
A⋅ (B ± C) = A⋅ B ± A⋅ C
遵守交换律 遵守分配律
B
∵ i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k =1
矢量运算基本知识
矢量运算基础
矢量的定义： 1、矢量的定义： 标量只有大小（当然有正负） 例如：质量、 标量只有大小（当然有正负），例如：质量、 大小 长度、时间、密度、能量、温度等。 长度、时间、密度、能量、温度等。 矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规 矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规 大小又有方向 例如：位移、速度、加速度、力等。 则，例如：位移、速度、加速度、力等。
C
B
A× B = C
是一个轴矢量 大小： 大小：平行四边形面积
C = A× B = ABsi θ n
θቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
右 手 螺 旋 前 进
方向： 方向：
(0 < θ < π )
右手四指由叉乘号前的矢量方向， 右手四指由叉乘号前的矢量方向，沿 小于π的夹角旋转到叉乘号后的矢量 小于 的夹角旋转到叉乘号后的矢量 方向时拇指的指向。积矢量垂直于两 方向时拇指的指向。 叉乘矢量所确定的平面。 叉乘矢量所确定的平面。
矢量运算基础
注意：严格区分矢量的叉乘与点乘！ 注意：严格区分矢量的叉乘与点乘！ 不能随便乱用。 “×”、“ · ”不能随便乱用。 、 不能随便乱用 (6)矢量的非法运算包括 (6)矢量的非法运算包括
1 A
,
l B, n
C,
e ⋯
D
矢量不能作除数、取对数； 即：矢量不能作除数、取对数； 不能开方、作指数。 不能开方、作指数。
dA dAx dAy dAz = + dt + dt dt dt
2 2 2
A= A = A + A + A
2 x 2 y
2 z
dA d A + A + A = dt dt
2 x 2 y
2 z
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（8）矢量的积分 第一种情况： 第一种情况：
dB 若A和B都在同一平面直角坐标 系内，且 = A, dt 则有 dB = Adt = ( Axi + Ay j )dt
矢量对标量积分，各分量各自积分：
B = ∫ Adt = (∫ Axdt)i + (∫ Aydt) j = Bx i + By j
即Bx = ∫ Axdt , By = ∫ Aydt , 各分量方向不变
β
分别是A与X ,Y, Z 三个坐标轴的夹角
A± B = ( Ax ± Bx )i + ( Ay ± By ) j + ( Az ± Bz )k
同一方向上的分量的运算如同标量一样。 同一方向上的分量的运算如同标量一样。 不同方向上的分量不能合并同类项， 不同方向上的分量不能合并同类项，要按矢量加法法 则叠加。 则叠加。
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矢量的几种表示方式： 2、矢量的几种表示方式： 几何表示： ＊几何表示：有指向的线段
A
解析表示： 字母上面加箭头，或用黑体字（课本） ＊解析表示： 字母上面加箭头，或用黑体字（课本）
A= ( A , A2 , A ) 1 3
大小 A＝A （矢量的模） 矢量的模）
矢量相等： 大小相同，方向相同。 3、矢量相等： 大小相同，方向相同。 标量不能与矢量相等， 标量不能与矢量相等，即：
i ⋅ j = j ⋅k = k ⋅i = 0
∴A⋅ B = ( Axi + Ay j + Az k ) ⋅ (Bxi + By j + Bz k ) = Ax Bx + Ay By + Az Bz
θ
Bcosθ
A
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(5)矢量的矢积（叉积、叉乘） (5)矢量的矢积（叉积、叉乘） 矢量的矢积
它的大小乘上它的单位矢量， 一个矢量也可写成 : 它的大小乘上它的单位矢量，
如：
A = Ar0
A= A
A r0 = A
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(3)矢量的分解 (3)矢量的分解 e和 2 e 在一个平面内， 在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 1 则平面内的任一矢量可以分解为： 则平面内的任一矢量可以分解为： A = A e1 + A e2 1 2 常用 e ⊥ e 称为正交分解 1 2 在直角坐标系， 在直角坐标系， 其大小
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(4)矢量的标积（点积，点乘） (4)矢量的标积（点积，点乘） 矢量的标积
A⋅ B = ABcosθ (θ 为A B 夹 ) 与的 角 若B 单 矢 ，⋅ B A B 向 投 。 为 位 量A 为 在 方 的 影
B
θ < 90 , A⋅ B > 0
0
θ = 900 , A⋅ B = 0 θ > 90 , A⋅ B < 0
如：速度的导数是加速度，速率的导数是加速度的切向 速度的导数是加速度， 分量。 分量。
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即：矢量的导数的模一般不等于矢量的模的导数 矢量的导数的模一般不等于矢量的模的导数 一般不等于 在直角坐标系中
A = Axi + Ay j + Azk
dAy dA dAx dAz = k i+ j+ dt dt dt dt
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第二种情况，对矢量点乘积分： 第二种情况，对矢量点乘积分：
如: 变 沿 线 功 力 曲 作 ， 元 dW = F ⋅ dr = F dx + Fydy + F dz 功 x z ∴总 W = ∫ F ⋅ dr = ∫ F dx + ∫ Fydy + ∫ F dz 功 x z
还有，对矢量叉乘积分，以后在电磁学里再讲。 还有，对矢量叉乘积分，以后在电磁学里再讲。
A≠ A
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矢量的运算法则： 4、矢量的运算法则： (1) 加减法 含平行四边形法则和三角形法则
B
C
C
B
A
A
C = A+ B
C− A= B
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(2) 数乘
大 小 λ A = C 向 方 C= λA λ > 0 λ < 0 C 行 A 平 于 C 行 −A 平 于
矢量与标量不能相等。 ！！！ 矢量与标量不能相等。
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（7）矢量的导数还是个矢量 ）
dr0 dA dA 若A = Ar0 则 = r0 + A dt dt dt 若在直角坐标系，坐标轴方向不变， 若在直角坐标系，坐标轴方向不变，各分量互不 相干，分别求导。 相干，分别求导。如：
但一般
dAy dA dAx dAz = i+ j+ k dt dt dt dt dA dA 除非定向运动。） （除非定向运动。） ≠ dt dt
A = Axi + Ay j + Azk
2 2 2 A = A = Ax + Ay + Az
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Z
γ
k O i
β
y
P
r = xi + yj + zk
r = r = x + y +z
2 2 2
α
r
j
z x
Y
X
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Ax = Acosα Ay = Acos β Az = Acosγ
α
γ