第一章 第七节 等价无穷小的比较课件ppt课件

注 若 C，则 C.
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当 x 0 时，x 2 是比 3 x 高阶的无穷小，
2
x2 0， 例1 lim x 0 3 x
即 x o(3 x ) ( x 0)； sin x sin x ~ x ( x 0). lim 1，
x 0
x
e 1 例２ 求 lim . x 0 x 1 e x 1 u e x 1 lim u 1 解 lim u 0 ln( 1 u ) x 0 x u lim ln( 1 u ) 1 u 0 1. ln e
1 2 1 cos x ~ x , 2
y 1 2 x 2
y 1 cos x
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例4
tan 5 x cos x 1 求 lim . x0 sin 3 x
解 tan 5 x 5 x o( x ), sin 3 x 3 x o( x ),
1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2 1 2 2 5 x o( x ) x o( x ) 2 原式 lim x 0 3 x o( x ) 2 o( x ) 1 o( x ) 5 x 5 x 2 x . lim x 0 3 o( x ) 3 x
x
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tan x sinx为x的三阶无穷小 . 例3 证明: 当x 0时，
tan x sin x 证 lim x 0 x3 1 sin x 1 cos x lim( ) 2 x 0 cos x x x 1 sin x 1 cos x 1 lim lim lim , 2 x 0 cos x x 0 x x 0 x 2
第七节
无穷小的比较
1. 无穷小的比较
2. 等价无穷小的替换
3. 小结、作业
Fra Baidu bibliotek
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一、无穷小的比较
无穷小之比的极限（0/0）可以出现各种情况： 1 2 2 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. 2 x x 2 0 , l i m x 比 x 快得多 ; 观 x0 x 察 sin x sin x与x大致相同; 1, 各 lim 极 x0 x 2 限 lim x , x 比 x 慢得多 ; 2 x0 x 1 0 2 x sin （ 型） 1 0 x lim lim sin 不存在. 不可比. 2 x0 x 0 x x 出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.
例如, 当x 0 时,
n
sin x ~ x ,
1 ln(1 x ) ~ x , 1 x 1 ~ x. n sinx x o( x ), 1 2 1 cos x x o( x 2 ), 2 ln( 1 x ) x o( x ), n 1 x 1 1 x o( x ). n
注 可利用这条性质简化一些极限的计算：求极限时 ，分子、分母中的因子可用等价无穷小替换（替换后 极限情况不变）。
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例5 解
(2 x ) 原 式 l i m x 0 1 x2 2
1 2 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2
tan2 2 x 求 lim . x 0 1 cos x
1 cos x ~ 1 x2 2

x 1 lim 2 x 0 x lim( 1 cos x )
x 0
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例7
错 解 当x 0时, tan x ~ x, xx 原 式 lim 0. 3 x 0 (2 x )
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二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ , 则 lim lim . 证 lim lim( ) lim lim lim lim . 证毕
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定义: 设 , 是同一过程中的两个无 穷小 . (1) 如 果 l i m 0， 称 是 比 高 阶 的 无 穷 小 , 记 作 o( )； ( ２ ) 如果 lim ，称 是比 低阶的无穷小 ; ( 3) 如果 lim C 0, 称 与 是同阶的无穷小 ; 特殊地， 如 果 l i m 1， 称 与 是 等 价 的 无 穷 小 ; 记 作 ~ . (4) 如果 lim k C 0，k Z ，称 是 的k 阶的无穷小 .
tan x sin x为x的三阶无穷小 . 证毕
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定理1 与 是 等价 无 穷 小 o( ) (称 是 的主要部分)． 证 ~ lim 1 1 o(1) o( )． 证毕
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．
8.
arc sinx . 例6 求 lim 2 x 0 2(1 cos x ) x arc sinx arc sin x ~ x lim lim 解 x 0 2(1 cos2 x ) x 0 2(1 cos2 x ) x 1 x lim lim lim x 0 2(1 cos x ) x 0 1 cos x x 0 2(1 cos x )(1 cos x )
x
当 x 0 时， ln( 1 x ) ~ x， e 1 ~ x.
x
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常用等价无穷小:
当 x 0时，
sinx ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln( 1 x ) ~ x，
1 2 e 1 ~ x , 1 cos x ~ x , (1 x )a 1 ~ ax (a 0) 2