专题一微中微平面向量的热点问题-2021届高三数学二轮专题复习PPT全文课件

则A→C·B→C＝( 2cos θ， 2 sin θ－ 2)·( 2cos θ－ 2， 2sin θ)＝2－2 2sin(θ＋π4)，
当 sinθ＋π4＝－1 时有最大值，为 2＋2 2. 答案：B
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微中微 平面向量的热点问题
答案：[ 2－1，3]
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微中微 平面向量的热点问题
平面向量中与最值和范围有关的问题的求解通常有 两种思路：
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义或其他图 形的性质将问题转化为平面几何中的最值或范围问题， 然后根据平面几何图形的特征进行求解．
则在直角坐标系中，设 a＝O→A＝(1，0)，则 b＝O→B＝ 14， 415，c＝O→C＝(x，y)，
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微中微 平面向量的热点问题
角度 利用不等式求解
1. 若平面向量 a，b，c 满足|a|＝Байду номын сангаас，|b|＝3，|c|＝1，
且 a·b－c·(a＋b)＋1＝0，即|a－b|的最小值为( )
A．1
B． 13－4 3
C． 12－4 3 D． 7
解析：|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝13－2a·b， 而 a·b＋1＝c·(a＋b)≤|a＋b|，两边平方得
又A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos A＝|A→B|2＋|A→2C|2－|B→C|2， 即16|A→B|2＋16|A→C|2＝|A→B|2＋|2A→C|2－4， 所以|A→B|2＋|A→C|2＝6，即 b2＋c2＝6，
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23A→M＝
23×12(A→B＋A→C)＝
1 3
A→B＋13A→C，由数量积的定义，有
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微中微 平面向量的热点问题
A→O·A→G＝13A→O·A→B＋13A→O·A→C＝13×|A→2B|2＋13×|A→2C|2＝ 16|A→B|2＋16|A→C|2，
二是“数化”，即利用平面向量的组别运算，把问题 转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程 有解问题，或转化为基本不等式问题．
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微中微 平面向量的热点问题
2．(2020·长沙明达中学第二次模拟)已知平面向量 a、 b、c 满足|a|＝1，|b|＝|c|＝2，且 b·c＝0，则当 0≤λ≤1 时， |a－λb－(1－λ)c|的取值范围是________．
微中微 平面向量的热点问题
2．(2020·苏州市三校 5 月联考)△ABC 中，BC＝2， 点 O，G 分别为△ABC 的外心、重心，若A→O·A→G＝A→B·A→C， 则△ABC 面积的最大值为____________．
解析：设 BC 的中点为 M，如图，因
为 G 为△ABC 的重心，
所以
A→G＝
微中微 平面向量的热点问题
角度 利用数形结合求解
1．(2020·成都石室中学月考)已知单位向量 a，b 满足
|2a－b|＝2，若存在向量 c，使得(c－2a)·(c－b)＝0，则|c|
的取值范围是( )
A. 26， 26＋1 C. 26－1， 26＋1
B.
26－1，
6 2
D.[ 6－1， 6＋1]
微中微 平面向量的热点问题
所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝62－bc4＝b1c，S△ABC＝12bcsin A＝12
bc
1－cos2 A
＝
1 2
bc
1－b21c2
＝
1 2
b2c2－1
≤
1 2
b2＋2 c22－1＝12 32－1＝ 2，当且仅当 b＝c＝ 3时等号
成立．
答案： 2
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解析：因为|b|＝|c|＝2，且 b·c＝0，所以可设O→B＝b＝ (2，0)，O→C＝c＝(0，2)，O→A＝a，设O→D＝d＝λb＋(1－λ)c， 因为 0≤λ≤1，
所以点 D 在线段 BC 上，因为|a|＝1，所 以 A 点在单位圆 x2＋y2＝1 上，如图：
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则有 A(1，0)，B14， 415，C(x，y)，若(c－2a)·(c－ b)＝0，
则有(x－2)x－14＋yy－ 415＝0，即 x2＋y2－94x－ 415y＋12＝0，
变形可得x－982＋y－ 8152＝1，
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微中微 平面向量的热点问题
点 C 在以98， 815为圆心，半径为 1 的圆上，设 P98， 815，
则|OP|＝ 26，则有|OP|－1≤|O→C|≤|OP|＋1，则有 26－ 1≤c≤ 26＋1，
所以|c|的取值范围是 26－1， 26＋1. 答案：C
2b|cos θ－1，
所以(c＋a)·(c－2b)＝ 3cos θ，
所以(c＋a)·(c－2b)的最大值为 3，此时 cos θ＝1.
答案：B
微中微 平面向量的热点问题
3．(2020·济南模拟)已知点 A，B，C 均在半径为 2的 圆上，若|AB|＝2，则A→C·B→C的最大值为( )
A．3＋2 2 B．2＋2 2 C．4 D． 2
专题一 三角函数与平面向量
微中微 平面向量的热点问题
角度 利用函数知识求解 1．(2020·江西省第二次联考)若|a|＝1，|b|＝2，则|a＋ b|的取值范围是( ) A．[1，9] B．(1，9) C．[1，3] D．(1，3)
解析：设向量 a，b 的夹角为 θ，因为|a|＝1，|b|＝2， (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋4cos θ∈[1，9]，则|a＋b|＝ （a＋b）2∈[1，3]． 答案：C
解析：根据圆 O 半径为 2，|AB|＝2 得 到 OA⊥OB，以 OB，OA 为 x，y 轴建立如 图直角坐标系，则 A(0， 2)，B( 2，0)， 设 C( 2cos θ， 2sin θ)，
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微中微 平面向量的热点问题
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微中微 平面向量的热点问题
所以|a－λb－(1－λ)c|＝|O→A－O→D|＝|D→A|，则问题转化 为求线段 BC 上的动点 D 与单位圆上的动点 A 之间的距 离|D→A|的取值范围．由图可知：当O→D⊥B→C，且 A 为线段 OD 与单位圆的交点时，|D→A|取得最小值 2－1，当 D 与 B(或 C)重合，A 为单位圆与 x(或 y)轴的负半轴的交点时， |D→A|取得最大值 2＋1＝3，所以|a－λb－(1－λ)c|的取值范 围是[ 2－1，3]．
微中微 平面向量的热点问题
2．已知 a，b，c 均为单位向量，a 与 b 的夹角为 60°，
则(c＋a)·(c－2b)的最大值为( )
A．32
B． 3
C．2
D．3
解析：设 c 与 a－2b 的夹角为 θ，因为|a－2b|2＝a2－
4a·b＋4b2＝3，|a－2b|＝ 3， 所以(c＋a)·(c－2b)＝c2＋c·(a－2b)－2a·b＝1＋|c|·|a－
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微中微 平面向量的热点问题
解析：根据题意，设向量 a，b 的夹角为 θ，若|2a－ b|＝2，
则(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4，即 4－4cos θ＋1＝4， 解得 cos θ＝14.
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(a·b＋1)2≤13＋2a·b，
解得－2 3≤a·b≤2 3.
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微中微 平面向量的热点问题
所以|a－b|2＝13－2a·b≥13－4 3，即|a－b|的最小值 为 13－4 3.
故选 B. 答案：B
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