连续信号与系统频域分析的MATLAB实现

实验十三 连续信号与系统频域分析的MATLAB 实现

一、实验目的

1. 掌握连续时间信号频谱特性的MATLAB 分析方法；

2.掌握连续系统的频率响应MATLAB 分析方法方法。

二、实验原理

1. 连续时间信号的频谱---傅里叶变换

非周期信号的频谱密度可借助傅里叶变换作分析。傅里叶正变换和逆变换分别为：

⎰

∞

∞

--=dt e t f j F t j ωω)()(

⎰

∞

∞

-=

ωωπ

ωd e j F t f t j )(21)(

Matlab 的符号运算工具箱（Symbolic Math Toolbox ）提供了能直接求解傅里叶变换和逆变换的符号运算函数fourier()和ifourier()。两函数的调用格式如下。

（1）傅里叶变换

在Matlab 中，傅里变换变换由函数fourier()实现。fourier()有三种调用格式： ① F=fourier(f )

求时间函数f (t)的傅里叶变换，返回函数F 的自变量默认为w ，即)]([)(t f j F F =ω； ② F=fourier(f ,v )

求时间函数f (t)的傅里叶变换，返回函数F 的自变量为v ，即)]([)(t f jv F F =； ③ F=fourier(f ,u ,v )

对自变量为u 的函数f (u )求傅里叶变换，返回函数F 的自变量为v ，即)]([)(u f jv F F =。 （2）傅里叶逆变换

在Matlab 中，傅里变换逆变换由函数ifourier()实现。与函数fourier()相类似，ifourier()也有三种调用格式：

① f=ifourier(F )

求函数F (j ω)的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量默认为x ，即)]([)(1

ωj F x f -=F ； ② f=ifourier(F ,u )

求函数F (j ω)的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量为u ，即)]([)(1

ωj F u f -=F 。 ③ f=ifourier(F ,v ,u )

求函数F (j v )的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量为u ，即)]([)(1jv F u f -=F

由于fourier()和ifourier()是符号运算函数，因此，在调用fourier()和ifourier()之前，需用syms 命令对所用到的变量（如t ,u ,v ,w ）作说明。举例如下。

例13-1．求单边指数函数)()(2t e t f t

ε-=的傅里叶变换，画出其幅频特性和相频特性图。 解：编写如下M 文件，

syms t w f

f=exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)'); F=fourier(f)

subplot(3,1,1);ezplot(f,[0:2,0:1.2]); subplot(3,1,2);ezplot(abs(F),[-10:10]); subplot(3,1,3);ezplot(angle(F),[-10:10]) 运行后，可得如下的文本和如图13-1所示图形结果。

F = 1/(2+i*w) 上式相当于：ω

ωj j F +=

21

)(

要说明的是，相频特性图中，相位的单位为“弧度”。 例13-2．求2

11

)(ω

ω+=

j F 的傅里叶逆变换)(t f 。 解：编写如下M 文件，

syms t w F=1/(1+w^2); f=ifourier(F,w,t) ezplot(f)

运行后，可得如下的文本和如图13-2所示图形结果。

f=1/2*exp(-t)*Heaviside(t)+1/2*exp(t)*Heaviside(-t)

上式相当于：t

t t e t e t e t f 2

1)(21)(21)(=-+=-εε

2. 连续系统的频域分析

线性时不变（LTI ）系统如图13-3所示。若系统的冲激响应为)(t h ，频率响应为

)]([)(t h j H F =ω，则激励)(t f 和响应)(t y 在时域和频

域的关系如下：

)

()()()

(*)()(ωωωj H j F j Y t h t f t y ⋅==

系统的频率响应函数为

图13-1

图13-2

L TI 系统

(t)

f (t)

y 图13-3

)()()

()

()(ωϕωωωωj e j H j F j Y j H ==

其中，)(ωj H 为系统的幅频特性，反映了输出与输入信号幅度之比随输入信号角频率

ω变化的规律；)(ωϕ为系统的相频特性，体现了输出与输入信号的相位差随输入信号角频

率ω变化的规律。

若描述系统的微分方程为

∑∑===M

j j j N

i i i t f b t y

a 0

)(0

)

()()(

由微分方程的系数构成向量：],,...,,[011a a a a a N N -=，],,...,,[011b b b b b M M -=。 系统的频率响应函数是一个非常重要的参数，Matlab 工具箱中提供了专门用于分析连续系统频率响应的freqs( )函数。利用freqs( )函数可求出系统频率响应的数值解，也可绘出其幅频特性和相频特性曲线。freqs( )函数的调用形式有如下四种。

（1）H ＝freqs(b,a, w1:dw:w2)

该调用方式，可求得指定频率范围（w1~w2）内相应频点处系统频率响应的样值。其中，w1、w2分别为频率起始值和终止值，dw 为频率取样间隔。

如，输入如下命令： a=[1 2];

b=[1]; %系统微分方程为)()(2)(t f t y t y =+'

H=freqs(b,a,0:0.5:2) %计算在0~2(rad/s)频率范围内以0.5 rad/s 间隔取样的频响样值 运行结果为： H =

0.5000 0.4706 - 0.1176i 0.4000 - 0.2000i 0.3200 - 0.2400i 0.2500 - 0.2500i （2）[H,w]＝freqs(b,a)

该调用方式，将计算默认频率范围内200个频点上系统频率响应的样值，并赋值给返回向量H ，200个频点则记录在向量w 中。

（3）[H,w]＝freqs(b,a,n)

该调用方式，将计算默认频率范围内n 个频点上系统频率响应的样值，并赋值给返回向量H ，n 个频点则记录在向量w 中。

（4）freqs(b,a)

该调用方式将绘出系统的幅频特性和相频特性曲线。 若输入如下命令： a=[1 2]; b=[1]; frqs(b,a,0:0.5:2) 运行结果如图13-4所示。

图13-4