函数的单调性与最大(小)值PPT课件

所以f x2 f x1 0,即f x2 f x1 . 以函数f x在R上是单调递增函数.
[剖析]上述解法产生错误的原因在于没有弄清函数
g x x2 1的单调性.事实上,在R上函数g x
不具有单调性,因此当x1 x2时,不能推出 x22 1 x12 1.
[正解]设x1, x2 R,且x1 x2,则f x2 f x1
(x2 x22 1) (x1 x12 1)
x2 x1 ( x22 1 x12 1)
x2
x1
(x22 1) x22 1
(x12 1) x12 1
x2
x1
(x2 x1)(x2 x22 1 x12
x1 ) 1
(x2 x1)( x22 1 x12 1 x2 x1) x22 1 x12 1
x≤1,
.是
,
上的减函数, 那么a的取值范围是(
)
A.(0,1)
C.
1 7
,
1 3
B.
0,
1 3
D.
1 7
,1
[错解]依题意应有
3a 1 0, 0 a 1,
解得0
a
1 3
,
选B.
[剖析] 本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了函数
在每一段上是单调递减的,没有使函数f(x)在(-∞,1]上的最小值
了解以下结论,对直接判断函数的单调性有好处:
(1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;
(2)当f(x)恒为正或恒为负时,函数 调性相反;
y
1 f (x)
与y=f(x)的单
(3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函 数等;
(4)复合函数单调性判断,要注意掌握“同增､异减”的原则.
本方法是“赋值”,解题中要灵活应用题目条件赋值转化或配 凑. 【典例4】 函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
[分析] (1)是抽象函数单调性的证明,所以要用单调性的定义.(2) 将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为 此需将右边常数3看成某个变量的函数值.
1)( x2 1)( x22
x1) 1)
0,
a 0时, f x1 f x2 ,函数f x 在1,1 上递减;
a 0时, f x1 f x2 ,函数f x 在1,1上递增.
解法二 :
对f
x 求导, 有f
x
a(x2 1) (x2 1)2
,
Q x 1,1, x2 1 2 0, x2 1 0,
[解]1当a 4时, f x x 4 2,易知, f x 在1, 2
x
上是减函数,在2, 上是增函数.f x f 2 6. min
2当a 1 时, f x x 1 2,易知, f x 在1,
2
2x
上为增函数.f x f 1 7 .
min
2
3函数f x x a 2在(0, a ]上是减函数, 在[ a, )
x
上是增函数.若 a 1,即a 1时, f x 在区间[1, )
上先减后增, f x f ( a ) 2 a 2; min
若 a≤1,即0 a 1时, f x 在区间1, 上是增函数.
f x f 1 a 3. min
类型四抽象函数的单调性与最值 解题准备:抽象函数是近几年高考的热点,研究这类函数性质的根
【典例2】利用定义判断函数f x x x2 1在区间
R上的单调性.
[错解]设x1, x2 R,且x1 x2 ,则f x2 f x1
(x2 x22 1) (x1 x12 1)
x2 x1 ( x22 1 x12 1),
因为x1 x2 ,则x2 x1 0,且 x22 1 x12 1 0,
当a 0时, f x 0, f x 为增函数.
当a 0时, f x 0, f x为减函数.
[反思感悟] 利用函数单调性的定义证明f(x)的单调性时,比较 f(x1)与f(x2)的大小常用作差法,有时可运用作商法､放缩法等; 讨论函数的单调性值域问题不可忽视函数的定义域.
类型二函数的奇偶性与单调性
(2)作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并通过因式分解､配方､有理化 等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;
(3)定号:确定差值Δy的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论; (4)判断:根据定义作出结论.
2.直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性.如一次函数､ 二次函数､反比例函数的单调性均可直接说出.
[分析] 利用f(-x)=-f(x)求a,b的值.
[解]1Q f x f x 0恒成立,
即 xa xa 0 x2 bx 1 x2 bx 1
恒成立,则2 a b x2 2a 0对任意的实数x恒成立.
a b 0.
2Q
f
x
x
x 2
1
x
R
是奇函数,
只需研究0, 上f x的单调区间即可.
B. 1
5
2
C. 2
D.1
2
答案:B
3.(2011g长春质检)已知f x 为R上的减函数,则满足
f
1 x
f
1的实数x的取值范围是(
)
A. ,1
B.1,
C., 0 0,1
D., 0 1,
答案:D
4.(2011g福建模拟)已知函数y 1 x
为M, 最小值为m,则 m 的值为(
)
M
A. 1
x1 x2 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.
答案:①③
类型一函数单调性的判定与证明
解题准备:判断函数的单调性的常见方法有三种:定义法､直接法､ 图象法.
1.用定义法证明函数单调性的步骤:
(1)取值:设x1,x2为该区间内任意的两个值,且x1<x2,则Δx=x2x1>0;
(2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将不 等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解,导致此 种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利 用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化.
错源一不注意分段函数的特点
【典例1】已知f
x
(3a 1)x 4a, logax, x 1
又f(4)=5,∴f(2)=3.
原不等式即为f(3m2-m-2)<f(2).
由(1)知f(x)在R上是增函数,
∴3m2-m-2<2.
解之得 1 m 4 . 3
原不等式解集为
1,
4 3
.
[反思感悟] (1)若函数f(x)是增函数,则f(x1)<f(x2)⇔x1<x2,函数不 等式(或方程)的求解,总是想方设法去掉抽象函数的符号,化为 一般不等式(或方程)求解,但无论如何都必须在定义域内或给 定的范围内进行.
∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数. 又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到,故
f(x)在[-1,1]上是增函数. (3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1处
可取得最大值. ∴f(1)=， ∴函数的最大值为 ,无最小值.
B. 1
4
2
C. 2 2
D. 3 2
答案:C
x 3的最大值
5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以下几个命题: ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0; ③ f (x1) f (x2 ) 0;
x1 x2 ④ f (x1) f (x2 ) 0.
大于(1,+∞)上的最大值,从而得出错误结果.
[正解]据题意要使原函数在定义域R上为减函数, 要满足
3a 1 0,且0 a 1, 及x 1时3a 1g1 4a loga1,
解得a的取值范围为
1 7
,
1 3
,
故选C.
[答案] C
错源二 判断复合函数的单调性时,未弄清内､外函数的单调性而 致错
解题准备:因为奇函数的图象关于原点对称,所以结合图象可得奇 函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相同.因为偶函数的图象关于 y轴对称,所以偶函数在(a,b)与(-b,-a)上的单调性相反.
【典例2】已知f
x
x2
xa bx 1
是奇函数.1求a, b的值;
2求f x的单调区间,并加以证明;
3求f xx 0的最值.
任取x1, x2 0, ,且x1 x2 ,则f x1 f x2
x1 x2 (x2 x1)(x1x2 1) . x12 1 x22 1 (x12 1)(x22 1)
∵x21+1>0,x22+1>0,x2-x1>0, 而x1,x2∈[0,1]时,x1x2-1<0, ∴当x1,x2∈[0,1]时,f(x1)-f(x2)<0, 函数y=f(x)是增函数; 当x1,x2∈[1,+∞)时,f(x1)-f(x2)>0, 函数y=f(x)是减函数. 又f(x)是奇函数,
类型三求函数的最值
解题准备:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常 用配方法.
(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性, 然后利用单调性求最值.
(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此 法.
(4)导数法:当函数较复杂(如指､对数函数与多项式结合)时,一般 采用此法.
函数的单调性与最大(小)值
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
定义
图象 描述
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域 I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2.
当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那 当x1<x2时,都有
么就说函数f(x)在区间D上 f(x1)>f(x2),那么就
f′(x)<0时,f(x)为减函数.
2.函数的最值
前提 条件
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存 在实数M满足
①对于任意x∈I,都有 f(x)≤M;
①对于任意x∈I, 都有f(x)≥M;
结论
②存在x0∈I,使得f(x0)=M. ②存在x0∈I,使 得f(x0)=M.
M为最大值
M为最小值
结论 M为最大值 M为最小值 定义在闭区间上的单调函数必有最大(小)值.设f(x)是定义在 [m,n]上的单调增函数,则它的最大值是f(n),最小值是f(m).
考点陪练
1.(2010·福建)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是( )
A.f (x) 1 x
B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex 答案:A
D.f(x)=ln(x+1)
2.函数f x x 的最大值为(
)
x 1
A. 2
是增函数
说函数f(x)在区间
D上是减函数
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象 是下降的
(2)单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说y=f(x)在
这一区间上具有单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)若函数y=f(x)在某个区间内可导,当f′(x)>0时,f(x)为增函数;当
(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几 何意义,在图上找其变化范围.
【典例3】已知函数f x x2 2x a ,?x 1, .
x
1当a 4时,求f x 的最小值;
2当a 1 时,求f x 的最小值;
2
3若a为正数,求f x的最小值.
[分析] 在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用均值不等式 求解,但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件.若条件不具 备,应从函数单调性的角度考虑.
[解] (1)设x1,x2∈R,且x1<x2. ∴x2-x1>0,则f(x2-x1)>1. ∵f(a+b)=f(a)+f(b)-1,
∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1 又f(x2-x1)-1>0, 因此f(x2)>f(x1), 故f(x)在R上是增函数.
(2)令a=b=2,则f(4)=2f(2)-1.
3.图象法:是根据函数的图象直观判断函数在某个区间上的单调 性的方法.
【典例1】判断函数f
x
ax x2
1
a
0 在区间 1,1 上的单调性.
[解]解法一 : 设 1 x1 x2 1,则f x1 f x2
a(x1x2 1)(x2 x1) (x12 1)(x22 1)
.
Q
Hale Waihona Puke Baidu
( x1 x2 ( x12