勒让德多项式及性质(课堂PPT)

dx
5
轴对称球函数
现在注意：m 0时，() Acos m B sin m A(常数) （u r, ,） R(r)( )() AR(r)( ) （u r,） u与无关，只与r， 有关。意味着当r，一定时，可任意改变，u不变。 即在以r， 构成的锥体上各点的u值相同。 问题关于极轴（z轴）对称。球函数Y ( ,) A( ) ~ 称为轴对称球函数。
2)! (l
2)!
al 4
(l 2)(l 3) 4(2l 3)
al 2
(1)2
(l 2)(l 2 2!(2l
3) 3)
2l
(l
(2l 2)(2l 3)(2l 4)! 1)(l 2)(l 3)(l 4)!(l
2)!
(1)2
2!2l
(2l (l
4)! 2)!(l
4)!
r2
d2R dr 2
2r
dR dr
l(l
1) R
0
和球谐函数方程
1
sin
sin
Y
1
sin2
2Y
2
l(l 1)Y
0
3
继续分离变数，令Y (,) ( )(),得到关于的方程：
'' 0 ( 2 ) ()
(1) 0时，( (2) m2 ,()
) C1
Acos
C2 C2
al 6
(1)3
3!2l
(2l (l
6)! 3)!(l
6)! , ...al 2 n
(1)n
n!2l
(2l (l
2n)! n)!(l
2n)!
8
勒让德多项式:y
Pl
(x)
[l/2]
a xl2n l2n
n0
[l/2]
(1)n
n0
n!2l
(2l (l
2n)! n)!(l
xl2n 2n)!
将指标n k
Pl
(x)
[l/2]
(1)k
k0
k !2l
(2l (l
2k)! k)!(l
2k)!
xl2k
,
按降幂排列的l次多项式。
9
一、勒让德方程的解：
我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解
为
Pl (x)
[l] 2
(1)k
k 0
(2l 2k)! 2l k!(l k)!(l
xl2k 2k)!
前面已学：勒让德方程在x 1有自然边界条件：y 有限，从而构成 x 1
本征值问题，本征值是l(l 1), l 0,1, 2, 3..., 在l为整数条件下，勒让德方程
的两个线性独立特解y(x) a0 y0 (x) a1 y1(x)之一退化为l次多项式。
z
(
)
y(x)
l为l为22kk(1偶(奇数数):):aa01yy10((xx))
用常点邻域
的级数解法
,
令
y
ak xk
k0
a0 y0 (x) a1 y1(x)
aa10yy10(
( x), l为偶数时 x)，l为奇4 数时
同样若记 arc cos x y(x) (x)
则上述方程也可写为下列形式的 l 阶勒让德方程
d [(1 x2 ) dy ] l(l 1) y 0
dx
7
(2)勒让德多项式
通常约定：用适当的常数乘以本征函数使最高次幂项xl的系数为:
al
(2l)! 2l (l !)2
,
l
Pl (x) ak xk （相邻两项相差2次） k 0
利用系数递推公式：ak
(k 2)(k 1) (k l)(k l 1) ak＋2
推算出其他系数：a0...al2n...al4 , al2 , al
第三篇：特殊函数
第二章 勒让德多项式
1
主要内容： 勒让德多项式（轴对称问题）及性质 连带勒让德函数（转动对称问题） 球函数（一般问题）
2
在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程
1 r2
(r2 r
u ) r
1
r2 sin
(sin
u )
1
r 2 sin2
2u
2
0Fra Baidu bibliotek
在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
Pl (x)
式中
[
l] 2
l
l, 2 1
, 2
l 2n l 2n 1
(n 0,1, 2, )
l 上式具有多项式的形式，故称 Pl ( x) 为
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
10
二、勒让德多项式
1、前几个勒让德多项式: （注意到 x cos )
P0 (x) 1
~ ~
x2k x 2 k 1
将它们分别乘上适当的常数，叫做l阶勒让德
r
y 多项式，记作Pl (x).
x
Pl (x) 轴对称情况下的球函数。
6
[Y ( ,) A( ) Ay(x) Pl (x)]
§2·1 勒让德多项式
• 勒让德方程的求解 • 勒让德多项式 • 勒让德多项式的性质、母函数和递推公式 • 勒让德多项式的应用
m Bsin
m
() Acos m B sin m, m 0,1, 2,3,...
球函数Y (,) (Acos m Bsin m)( ),其中( )需从连带勒让德
方程解出:(1 x2 ) d 2 2x d [l(l 1) m2 ] 0，x cos
dx2 dx
1 x2
m 0时，成为l阶勒让德方程：(1 x2 ) d 2 2x d l(l 1) 0 dx2 dx
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
3、勒让德多项式的积分表示
根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
i f (l) (z) l!
2πi
C
(
f ( )
z)l 1
cos
)
P6 (x)
1 16
(231x6
315x4
105x2
5)
1 512
(231cos 6
126 cos
4
105cos
2 11
50)
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 11.1 12
2、勒让德多项式的微分表示
Pl (x)
1 2l l !
dl dxl
(x2
1)l
al 2
l(l 1) (2)(2l
1)
al
l(l 1) (2l)! 2(2l 1) 2l (l !)2
l(l 1) (2l)(2l 1)(2l 2)! 2(2l 1) 2l l(l 1)! l(l 1)(l 2)!
2l
(l
(2l 1)!
2)! (l
2)!
(1)1
2l
(l
(2l 1)!
P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
1 4
(3cos 2
1)
P3
(x)
1 2
(5x3
3x)
1 8
(5cos
3
3cos
)
P4
(x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 64
(35cos
4
20 cos
2
9)
P5
(x)
1 8
(63x5
70x3
15x)
1 128
(63cos
5
35
cos
3
30