等差数列的性质教案

222等差数列的性质

教学设计

教学目标

1 •知识与技能：理解和掌握等差数列的性质，能选择更方便快捷的解题方

法，了解等差数列与一次函数的关系。

2. 过程方法及能力：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中体会类比思

想，数形结合思想，特殊到一般的思想并加深认识。

3. 情感态度价值观：通过师生，生生的合作学习，增强学生团队协作能力

的培养，并引导学生从不同角度看问题，解决问题教学重点：理解等差中项的概念，等差数列的性质，并用性质解决一些相关问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

教学难点：加深对等差数列性质的理解，学生在以后的学习过程能从不同角度看问题，解决问题，学会研究问题的方法。

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教学方法：启发引导，讲练结合

学法：观察，分析，猜想，归纳

教具：多媒体

教学过程：

一、复习引入

首先回忆一下上节课所学主要内容：

1. 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n —a n i =d ，(n>2，n€ N )，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母

“d”表示).

2 .等差数列的通项公式：

a n a i (n 1)d ( a n a m (n m)d)

3.有几种方法可以计算公差d

① d=a n —a n 1 ② d=^^ ③ d =^^

n 1 n m

二、讲解新课：

问题：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A, b成等差数列，那么A应满足什么条件？

2

反之，若 A -—b ，则 A- a = b -A

2

由此可可得：A 色丄 a,b,成等差数列“

2

也就是说，A=— 是-,A,b 成等差数列的充要条件

2

定义：若a ，A ， b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.

不难发现，在一个等差数列中，从第 2项起，每一项（有穷数列的末 项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 ・ 如数列：1, 3，5，7, 9，11，13…中

5是3和7的等差中项，1和9的等差中项* 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项,

三•例题讲解。

例1在等差数列｛ a n ｝中，若a 1 + a 6=9, a 4=7，求a 3 , a 9 .

分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求 通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的

任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双 项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：：｛a n ｝是等差数列

二 a 1 + a 6 = a 4 +a 3 =9 a 3=9— a 4 =9— 7=2

d= a 4 — a 3=7—2=5

二 a g = a 4+（9 — 4）d=7+5*5=32

a 3 =2, a 9=32

例 2 等差数列｛a *｝中，a 1+a 3+a 5=— 12,且 a 1 • a 3 - a 5=80.求通项 a n

分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题

，而已知两个

条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元(项)或再弄一个等式出来

由定义得A-a =b-A ，即：A

看来，a 2 a 4 a 5

i a

4 a

6 a

3 a

7

性质1 ：在等差数列 a n 中，若 m+n=p+q 贝U ，

a n

a p a q

即 m+n=p+q

a m

a n

a p a q (m, n, p, q

证明：a m a n a 1 (m 1)d ® (n 1)d 2a 1 (n m)d 2d, a p a q

a 1 (p 1)d a 1 (q 1)d

2® (p q)d 2d,

a m a n

a p

a q

.

角军：a i + a5 =2 a3

a1 a3a512 3a312 a34a1a520

80a1 a5 8

a1 =—10,a5 =2或a1 =2, a5 =—10

••• d= a5a1••• d=3 或—3

51

a n=—10+3 (n —1) = 3n —13 或a n=2 —3 (n —1) = —3n+5

例3已知数列｛a.｝的通项公式为a n pn q,其中p,q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析：判定｛a n｝是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就

是看a n a n 1(n 1)是不是一个与n无关的常数。

解：取数列｛a n｝中的任意相邻两项a n与a n 1(n>1),求差得，

a n a n 1=(p n+q)-[p( n-1)+q]

=pn+q-(p n-p+q)

=p

它是一个与n无关的常数。所以｛a n｝是等差数列思考

这个数列的首项和公差分别是多少？

探究

(1)在直角坐标系中，画出通项公式为a n 3n 5的数列的图象,

这个图象有什么特点？

(2)在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了

什么？据此说说等差数列a n pn q的图象与」次函数y=px+q的图象之间

有什么关系？

四、巩固练习：

1. 若等差数列的前三项依次是^4，佥金，求m的值。

2. 已知等差数列｛a n｝中，a2 a6 a® 1,求a3 a?。

五、小结本节课学习了以下内容：

1. A a^b a,b,成等差数列