图形相似与相似三角形知识点

图形相似与相似三角形知识点解读

知识点1.．相似图形的含义

把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）

解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．

（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．

例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？

分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变．

解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同．

例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)．

解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥．

知识点2．比例线段

对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，

即a c

b d

=（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．

解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作

a c

b d

=（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即

比例线段有顺序性．

（2）在比例式a c

b d

=（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比

例内项，d是第四比例项．

（3）如果比例内项是相同的线段，即a b

b c

=或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。

(4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．

例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求a

b

．

分析：求a

b

即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比．

例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=3

2

dm，求c的长度．

分析：由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c．知识点3．相似多边形的性质

相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．

解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．

（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．

例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？

分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即

为1

3

，再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．

知识点4．相似三角形的概念

对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．

解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；

（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；

（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；

（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；

（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．

注意：①相似比是有顺序的，比如△ABC∽△A1B1C1，相似比为k,若△A1B1C1∽△ABC，

则相似比为1

k

。②若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三

角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等．

例6．如图，已知△ADE∽△ABC，DE=2，BC=4，则和的相似比是多少？点D，E分别是AB，AC的中点吗？

B

注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比的顺序性，（2）图形的识别．

解：因为△ADE∽△ABC，所以DE AD AE

BC AB AC

==，因为

21

42

DE

BC

==，

所以

1

2

AD AE

AB AC

==，所以D，E分别是AB，AC的中点．

知识点5．相似三角的判定方法

（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；

（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似．

（3）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

（4）如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

（5）如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．

经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型：

①平行线型

常见的有如下两种，D E∥BC，则△ADE∽△ABC

B

B C

② 相交线型

常见的有如下四种情形，如图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADE ∽△ABC

如下左图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADC ∽△ACB 如下右图，已知∠B=∠D ，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE ∽△

ABC

B

C

③ 旋转型

已知∠BAD=∠CAE ，∠

B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，下图为常见的基本图形．

C

④ 母子型

已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．