第八章 平面解析几何8-7圆锥曲线的综合问题(理)

第8章 第7节

一、选择题

1．(2010·聊城模考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2

＝4x 的焦点重合，且

双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )

A ．5x 2

－4

5

y 2＝1

B.x 25－y 2

4＝1 C.y 25－x

2

4＝1

D ．5x 2－5

4

y 2＝1

[答案] D

[解析] 抛物线y 2＝4x 焦点为(1,0)，∴双曲线中c ＝1， 又e ＝c a ＝5，∴a ＝55，∴b 2＝c 2－a 2＝1－15＝45，

∴双曲线方程为x 215－y 2

45

＝1.

2．(2010·山东郓城)已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2

m ＝1恒有公共点，则实

数m 的取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．(0,5)

C ．[1,5)∪(5，＋∞)

D ．[1,5)

[答案] C

[解析] 直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆x 25＋y 2

m ＝1上或共内部即可，从而

m ≥1.

又因为椭圆x 25＋y 2

m

＝1中m ≠5，∴m ∈[1,5)∪(5，＋∞)．

[点评] 含参数的直线与曲线位置关系的命题方式常常是直线过定点，考虑定点与曲线位置，以确定直线与曲线的位置．

3．图中的椭圆C 1、C 2与双曲线C 3、C 4的离心率分别为e 1、e 2、e 3、e 4，则它们的大小关系是

( )

A ．e 1

B ．e 2

C ．e 1

D ．e 2

[答案] B

[解析] ∵C 1、C 2为椭圆，∴e ∈(0,1) ∵C 3、C 4为双曲线，∴e ∈(1，＋∞) 比较C 1、C 2

∵a 相等而C 1比C 2的短轴小， ∴C 1的焦距比C 2的焦距大，从而e 1>e 2 同理C 4的虚轴长>C 3的虚轴长，而实轴长相同 ∴C 4的焦距>C 3的焦距 ∴e 4>e 3 综上可得：e 2

a ＝

1－⎝⎛⎭⎫b a 2，e 越大越扁，对于双曲线e ＝c a

＝

1＋⎝⎛⎭

⎫b

a 2，e 越

大开口越宽阔．

4．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为( )

A ．3 2

B ．2 6

C ．27

D ．4 2

[答案] C

[解析] 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2

b 2＝1(b >0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程得，

4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，

∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点， ∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0， 即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3， 长轴长为2b 2＋4＝27，故选C.

5．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，若

OA →·OB →＝0，则椭圆的离心率e 等于( )

A.

－1＋5

2

B.

－1＋3

2 C.12

D.

32

[答案] A

[解析] 如图，F 2(c,0)把x ＝c 代入椭圆x 2a 2＋y 2a 2＝1得A (c ，b 2

a

)．

由OA →·OB →＝0结合图形分析得 |OF 2|＝|AF 2|，

即c ＝b 2a

⇒b 2＝ac ⇒a 2－c 2

＝ac

⇒(c a )2＋c a －1＝0⇒e 2

＋e －1＝0⇒e ＝5－12

. 6．(2010·重庆南开中学)双曲线x 2n －y 2＝1(n >1)的两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且

满足：|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积是( )

A ．1 B.12 C ．2

D ．4

[答案] A

[解析] 由条件知⎩⎨⎧

|PF 1|－|PF 2|＝2n

|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2

，

∴|PF 1|＝n ＋2＋n ，|PF 2|＝n ＋2－n 又∵|F 1F 2|＝2n ＋1，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， ∴S △PF 1F 2＝1

2|PF 1|·|PF 2|

＝1

2

(n ＋2＋n )(n ＋2－n )＝1. 7．在同一坐标系中方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )

[答案] D

[解析] 方程a 2x 2

＋b 2y 2

＝1，即x 2

1a 2＋y 2

1b

2＝1，因为1a 2<1

b 2，所以是焦点在y 轴上的椭圆．方

程ax ＋by 2＝0化为y 2＝－a

b

x ，为焦点在x 轴的负半轴的抛物线．

8．(2010·长沙一中、雅礼中学联考)若椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的连线的斜率为1

2

，则椭圆的离心率为( )

A.12

B.22

C.

3

2

D.62

[答案] B

[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点为⎝⎛⎭

⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，mx 12＋ny 12＝1，mx 2

2

＋ny 22

＝1，两式相减得y 1＋y 2x 1＋x 2＝－m n ×x 1－x 2y 1－y 2，∴12＝－m n ×(－1)，即m n ＝12

，离心率e ＝

1m －1

n

1m

＝1－m n ＝2

2

，故选B.

9．(2010·福建福州市质检)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )

A ．5

B ．8 C.17－1

D.5＋2

[答案] C

[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆x 2＋(y －4)2

＝1的圆心为C (0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF |，∴|PQ |＋d ＝|PQ |＋|PF |，由圆的几何性质及三角形两边之和大于第三边可知，当P 、Q 、F 、C 四点共线时取最小值，故最小值为|FC

|－1＝17－1.