cad3第二章图形变换(94127)

第二章图形变换

一般是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。两种方法：①坐标系不动而图形变换；②图形不动而坐标系变换。

·线框图变换，以点变换作为基础，把图形的一系列顶点作几何变换后，连接新的点系列即可产生新的图形。

·对用参数方程描述的图形，可通过对参数方程作几何变换，实现对图形的变换。

在计算机绘图和图形显示中，常对二、三维图形进行各种几何变换（平移，旋转，缩放等）和投影变换（多面正投影，轴测投影，透视投影等）。无论哪种变换，只要保持图形上各点之间的连接关系不变，而按一定的规律改变图形上各点的几何坐标，就可得到经变换后的新图形。

每一行对应一个点坐标，图形变换，矩阵变化,

故对图形的变换可通过对上述矩阵施行某种运算

来实现。计算机实现矩阵的乘法运算是非常方便

的。

用n ×2 or n ×3矩阵来表示一个二维or 三维图形

上的所有点的坐标：

§2-1 二维图形的几何变换

以点的变换为例：

一个点的坐标表示为[x, y]，使其乘以2×2阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 得：

*]*[],[],[y x dy bx cy ax d c b a y x =++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡， *]*[y x 是变换后图形上与点[x, y]对应的点的坐标。故*]*[y x 的值由变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 中各元素决定。当该矩阵为一单位矩

阵时，变换结果为：

*]*[][1001][y x y x y x ==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ 即变换前后点的坐标不变，故图形不变，这种变换称为恒等变换，相应地称单位变换矩阵为恒等变换矩阵。在计算机绘图软件中，常把变换矩阵的初始值置为单位矩阵。

令变换矩阵⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=d c b a T 中元素分别取不同的值，可获得各种不同的变换。

解析几何中，（一个点）

旋转变换为：

θθθ

θcos sin sin cos y x y y x x +='-='

平移变换： m y y l

x x +='+='

比例变换：y s y x

s x y x ='='，

图形—多点，方程复杂，故用矩阵变换实现图形的几何变换。 旧点集x 变换矩阵→新点集

二维图形点集——n 行2列矩阵

变换矩阵必须是一个2行2列，矩阵T

一、比例变换

变换矩阵为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=d o a T 0 *]*[][00][y x dy ax d a y x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡ dy y ax x ==*,*

a 和d 分别为x , y 方向的比例因子。

A mn （m 行n 列）和

B np （n 行p 列）

mp np mn C B A =⋅ （m 行p 列）相乘只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时，才可相乘。

=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡323122211211232221131112b b b b b b a a a a a a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++++322322221221312321221121321322121211311321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a

a、a=d=1，恒等变换

b、a=d≠1，等比例变换，>1放大，<1 缩小

c、a≠d，畸变

①a=d>1 放大

②0<a=d<1 缩小

③a≠d 畸变（x, y方向不等比例的变换）

④a=1，图沿y方向放大or缩小

d=1，图沿x方向放大or缩小

⑤a=0，压缩到y轴上，平面变成线段

b=0，压缩到x轴上，平面变成线段

二、对称变换（对坐标轴，对原点，对45º对角线）

1．对x 轴对称变换矩阵为

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001T []*]*[1001][y x y x y x =-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-

2．对y 轴对称变换矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001T []*]*[1001][y x y x y x =-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

-

3．对坐标原点对称

变换矩阵为

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1001T

4．对45º线对称，⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=0110T

对-45º线对称，⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--=0110T []*]*[1001][y x y x y x =--=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--[]*]*[0110][y x x y y x ==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡[]*]*[0110][y x x y y x =--=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-

三、错切变换，图形比例不变，原图沿x (or) y 方向发生错移变化

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11c b T ，为满足这一要求，仅a=d=1, b (or) c 之一为零。

① b=0, c ≠0，则沿X 方向错切

*]*[][11][y x y cy x c b y x =+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ 特点：Y 不变，X 依初始坐标[X Y]线性地变化

·凡平行于X 轴的直线变换后仍平行于X 轴

·凡平行于Y 轴的直线沿X 方向错切成与Y 轴成θ角的直线，且tg θ=c ，而X 轴上的点为不动点。

例：

②c=0,b≠0，则沿Y 方向错切

*]*[][101][y x y bx x b y x =+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡