电磁学 北大 王稼军 讲义 ppt 2.3安培环路定理

r r r r r ˆ µ0 I dl2 ⋅ (dl1 × r12 ) µ0 I − B(r2 ) ⋅ dl2 = − = r2 ∫) 4π ( L1 r12 4π
运用A ⋅ (B × C) = ( A × B) ⋅ C
2012-3-7 北京大学物理学院王稼军编写
r r ˆ (−dl2 × dl1 ) ⋅ r12 r2 ∫) r12 ( L1
电流 密度
r < R,
µ0 Ir I 2 ∑ I内 = πR 2 πr , B = 2πR 2
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载流长直螺线管内的磁 例题7 场 p108/p124 例题
密绕， 密绕，L>>R，忽略螺距； ，忽略螺距； B是轴矢量，垂直于镜面Π； 是轴矢量， 是轴矢量 论证管外B=0 论证管外 求管内任意P点的磁场 求管内任意 点的磁场
2012-3-7
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无限长圆柱形载流导体磁场 p106 / p123 例题 例题6
导线半径为R，电流 均匀地通过 导线半径为 ，电流I均匀地通过 横截面 轴对称(利用 是轴矢量分析） 轴对称 利用B是轴矢量分析） 利用 是轴矢量分析 取环路： 取环路：分两种情况
µ0 I r > R, ∑ I内 = I , B = 2πr
洞内的B 洞内的 洞中心O’及大圆柱内一点的 及大圆柱内一点的B 洞中心 及大圆柱内一点的
在哪些情况下可以用安培环路定 理求B？ 理求 ？
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载流线圈与磁偶极层的等价性 p103/p120
证明闭合载流线圈产生的磁 场正比于线圈回路对场点所 张的立体角的梯度 L1在P点产生 点产生
的磁感应强度 相当于P不动线 相当于 不动线 圈作-dL2位移 圈作
r r r ˆ µ0 I dl1 × r12 B(r2 ) = r ∫ ) r122 4π ( L1
p1 ( L1 )
P2
载流回路为 边界的曲面S 边界的曲面
p2 ( L2 )
( L1 )
r r µ0 I ∫ B ⋅ dl = 4π p1
r ∫ ∇ Ω ⋅ dl
B=
µ0 I ∇Ω 4π
L1：P 从上到下 → P2 1 L2：P2 从下到上 → P 1
曲面两侧两点无限趋近曲 面时，立体角趋近于4 面时，立体角趋近于 π
p1 ( L1 )
µ0 I µ0 I = (Ω 2 − Ω1 ) = 4π = µ 0 I 4π 4π
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∫
(L)
r r B ⋅ dl =
P2
r r ∫ B ⋅ dl +
P1
r r ∫ B ⋅ dl = µ 0 I
p1 ( L1 )
p2 ( L2 )
如果， 如果，安培环路与载流回路 不套连， 不套连，则环绕它一周立体 角回到原值， 角回到原值，积分为 0 运用叠加原理， 运用叠加原理，推广到多个 载流回路
L P
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nIa
⇒ B = µ 0 nI
⊥
⊥
∞
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载流螺绕环的磁场 p109/p125 例题 例题8
密绕，匝数： ，电流： 密绕，匝数：N，电流：I 利用B是轴矢量的特征分析 利用 是轴矢量的特征分析 场的对称性： 场的对称性：
磁感应线与环共轴
∫ B ⋅ d l = B ⋅ 2πr = µ0 ∑ Ii = µ0 NI
相似
反映了载流线圈与磁偶极层的等价性 在下面证明安培环路定理时直接引用
r τm H= ∇Ω 4πµ0
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安培环路定理表述和证明 安培环路定理表述和证明
表述： 表述：
磁感应强度沿任何闭合环路L的线积分， 磁感应强度沿任何闭合环路 L 的线积分 ， 等于 穿过这环路所有电流强度的代数和的µ0倍
Ba
0 i L S内
无穷远处 磁场为0 磁场为
管外即使有磁场也是沿轴向的； 管外即使有磁场也是沿轴向的； 作回路如a，可以证明p 作回路如 ，可以证明 点B=0;
0 ∫ B ⋅ dl = µ ∑ I ∫ B ⋅ d l =∫ B ⋅ d l + ∫ B ⋅ d l + ∫ B ⋅ d l + ∫ B ⋅ d l
设想P有一 设想 有一 小位移dL 小位移 2
r r r ˆ r µI r r ˆ ˆ r12 r21 (−dl2 × dl1 ) ⋅ r12 0 − B(r2 ) ⋅ dl2 = =− 2 r2 ∫) 2 4π ( L1 r12 r12 r21 r r r ˆ µ 0 I (−dl2 × dl1 ) ⋅ r21 =− r2 ∫) 4π ( L1 r21 整个线圈在位移 -dL2扫过的环带 µ0 I µ0 I 对场点p所张 Σ对场点 所张 =− ω dω = − ∫ 的立体角 4π ( L1 ) 4π
灰色面 元所对 立体角
也可理解为场点 P作平移dL2引 作平移 起立体角变化 曲面S Ω:曲面 曲面 对P点所张 点所张 立体角
2012-3-7
曲面S’对 Ω‘:曲面 对 曲面 P点所张立 点所张立 体角
Ω − Ω'+ω = 0, ⇒ ω = Ω'−Ω
可看成是场点坐标r 可看成是场点坐标 2的函数
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空间所有电流 产生的磁感应 强度矢量和
∫ B ⋅ dl = µ ∑ I
0 L L内
穿过闭合环 路的电流
简单证明
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安培环路定理的微分形式
利用斯托克斯定理
∫ B ⋅ dl = µ ∑ I
0 L L内 L内
0
∫∫ (∇ × B) ⋅ d S =µ ∫∫ j ⋅ d S
S S
∇ × B = µ0 j
微分形式百度文库
说明B的旋度不为零 说明 的旋度不为零——有旋场 的旋度不为零 有旋场
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磁感应强度是轴矢量
镜像反射的变化规律
• dl 、r、v、F、E 、P
极矢量：与镜面平行分量不变， 极矢量：与镜面平行分量不变，垂直分量反向 轴矢量：与镜面垂直分量不变，平行分量反向 轴矢量：与镜面垂直分量不变， 两个极矢量叉乘＝ 两个极矢量叉乘＝轴矢量
坐标r 坐标 2的函数
Ω − Ω'+ω = 0, ⇒ ω = Ω'−Ω
r r r µ0 I µ0 I − B(r2 ) ⋅ dl2 = − ω=− (Ω'−Ω) 4π 4π µ0 I − B(r2 ) ⋅ dl 2 = − dl 2 ⋅ ∇Ω 4π
r Ω' ≈ Ω + dl2 ⋅ ∇Ω
泰勒展开
µ0 I B= ∇Ω 4π
由毕奥－ 由毕奥－萨筏尔定律决定
B是轴矢量 是轴矢量
r r dl × r
推论： 推论：镜面对称的载流系统在镜面处产生的 磁感应强度垂直于镜面 磁感应强度垂直于镜面
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安培环路定理应用举例
无限长圆柱形载流导体磁场 载流长直螺线管内的磁场 载流螺绕环的磁场 习题 p144 /p161 2－17、19、20(1)(2)
L S内
µ 0 NI B= 2π r
形式上与无限长螺 线管内磁场一样
R>>d
2012-3-7
N n= , B = µ 0 nI 2π R
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例题： 例题：
一根半径为R的无限长圆柱形导体 一根半径为 的无限长圆柱形导体 管内空心部分半径为r， 管 ， 管内空心部分半径为 ， 空心 部分的轴与圆柱的轴平行， 部分的轴与圆柱的轴平行 ， 但不 重合，两轴间距为a，且a>r，现有 重合，两轴间距为 ， ， 电流I沿导体管流动电流均匀分布 沿导体管流动电流均匀分布， 电流 沿导体管流动电流均匀分布 ， 电流方向如图求： 电流方向如图求：
安培环路定理
磁荷模型 磁库仑定律 载流线圈与磁偶极层的等价性 安培环路定理的表述和证明 磁感应强度是轴矢量 安培环路定理应用举例
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“磁荷”模型 磁库仑定律 p83/p98 磁荷” 磁荷
磁荷有正、 磁荷有正、负，同号相斥，异号相吸 同号相斥， 与静电场类似 磁荷遵循磁的库仑定律 磁库仑定律
g m1 g m 2 F= r 2 4πµ0 r 1
∧
定义：磁场强度H 定义：磁场强度H为单位点磁荷所受的磁场力 r r F H= qm 0
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磁荷观点 相应的公式
磁场强度H 磁场强度H满足环路定律 可以引进磁势
磁场强度是磁势梯度的负值 磁偶极子的磁势 对于磁偶极层 与电偶极层类似） （与电偶极层类似）
∫ B ⋅ dl = µ ∑ I
0 L L内
∑I = I
L内
2012-3-7
1
− 2I 2
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证明
L与载流回路套连 与载流回路套连
∫
(L)
P2
从毕奥—萨筏尔定律出发 从毕奥 萨筏尔定律出发 先考虑单回路 L2穿过 时B是连 穿过S时 是连 续且有限的， 续且有限的， 再推广 ——0 P2 P1 r r r r r r B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl
2012-3-7
r r ∫ H ⋅ dl = 0
Um
r H = −∇U m
r r ˆ 1 Pm ⋅ r Um = 4πµ0 r 2
r qm l r σ ml
r τm H= ∇Ω 4πµ0
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说明
从磁荷模型看，磁场由磁荷产生，是有源无旋场， 从磁荷模型看，磁场由磁荷产生，是有源无旋场， 基本物理量是H 基本物理量是 安培研究电流与磁场的关系， 安培研究电流与磁场的关系，发现磁性的本源是 分子电流， 分子电流，以此建立分子电流模型 分子电流模型中，基本物理量是磁感应强度B， 分子电流模型中，基本物理量是磁感应强度 ， 从分子电流观点看磁场是无源有旋场 两种模型自成体系，但互相等价（第四章证明） 两种模型自成体系，但互相等价（第四章证明）