第02章第五节 蛛网模型的数学推导

第02章第五节 蛛网模型的数学推导

假定供给和需求函数都是线性的，蛛网模型可由以下差分方程组表示： Q st =-a+bP t-1 （1）

Q dt =c-dP t （2）

Q s t=Q dt （3）

（1）式表示，第t 年供给量取决于第t-1年的成交价格，（2）表示需求量取决于当年市场价格，（3）式表示市场必须是出清的，因此每年供给量均等于需求量。a 、b 、c 、d 为常数（参数），且都为正数。

将（1）式和（2）式代入（3）式可得：

c-dP t =-a+bP t-1 （4）

从（4）式中解出P t ：

P t =（-b d ）P t-1+a+c d （5）

在（5）式中假定t=1可得第1年价格为：

P 1=（-b d ）P 0+a+c d （6）

以此类推：

P 2=（-b d ）P 1+a+c d （7）

将（6）式代入（7）式中：

P 2=（-b d ）2P 0+（-b d ）a+c d +a+c d

重复这一过程，可得到以初始价格P0来表示的第3年、第4年、……第n 年的价格：

P n =（-b d ）n P 0+[∑（-b d ）k ]a+c d

=（-b d ）n P 0+a+c b+d [1-（-b d ）n ] （8）

又因为达到均衡点后，价格不再变化，假定第t 年达到均衡，则

P t =P t+1=……=P E （9）

将（9）式代入（5）式可得均衡价格P E ：

P E =a+c b+d （10）

将（10）式代入（8）式并整理：

P n =（-b d ）n P 0+P E [1-（-b d ）n ]

=（P 0-P E ）（-b d ）n+P E （11）

从（11）式可得出下列结论：

（ⅰ）如果|-b d |<1，则：limP n =P E ，即P n 趋近于P E ，市场价格将无限趋近均衡

价格，蛛网周期是收敛的。而|-b d |<1，说明d

供给弹性较小而需求弹性较大。

（ⅱ）如果|-b d |>1，则：limP n =∞，市场价格将振荡至无穷大，蛛网周期是发散

的。此时，d

（ⅲ）如果|-b d |=1，则P 2n =P 0，P 2n+1=2P E -P 0，价格在这两个值之间来回振荡，蛛

网周期是循环的，此时d=b ，即供给曲线斜率与需求曲线斜率相等。