与圆有关的比例线段 课件

D E
C
A
B
F
作业 第40页1---5
例5 如图，AB、AC是⊙O的切线， ADE是⊙O的割线，
连接CD、BD、BE、CE.
问题1：由上述条件能推出哪些结论？
B
ADC ∽ ACE, CD AC ,(1) CE AE
E
CD• AE AC • CE,(2) A
D
同理可证BD• AE AB • BE(3)
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等，圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角。
A
P
O
PA=PC ∠APO=∠CPO
C
例1 如图，圆内的两条弦AB、CD 相交于圆内一点P，已知PA=PB=4，
求PCC=D的长PD。.14
C
B
P A
D
例2 如图，E是圆内两弦AB和CD的 交点，直线EF∥CB,交AD的延长线
与圆有关的比例线段
D
B P A
C
PC ● PD=PA ● PB 相交弦定理
圆内的两条相交弦， 被交点分成的两条线段长的积相等。
D C
P
A B
PC ● PD=PA ● PB 割线定理： 从圆外一点引圆的两条割线，这一 点到每条割线与圆的交点的两条线 段长的积相等
D C
P
A（B)
PC ● PD=PA2 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项。
AC AB由（2）（3）可得
BE • CD BD• CE(4)
C
问题2：使线段AC绕A旋转，得到下 图，其中EC交圆于G，DC交圆于F。
此时又能推出哪些结论？
AB2 AD • AE,而AB AC,
AC2 AD • AE,即 AC AD , AE AC
CAD EAC , ADC与ACE两边 A 对应成比例，夹角相等， ADC ∽ ACE（5）
B E
由（7）（8）可得
A
D
AC • CD AE • CG（9）
Q
C、E、B、Q四点共圆
G
（10）
P
C
练习1：如图， ⊙O和⊙O′都经过点 A和B，PQ切⊙O于点P，交⊙O′于
Q、M,交AB的延长线于N，
求证：PN2=NM ● NQ
A
●
O’
●
O
Q
MB
Байду номын сангаас
NP
练习2 如图，已知AD、BE、CF分 别是△ABC三边的高，H是垂心， AD的延长线交△ABC的外接圆于点
G，求证：DH=DG
A F1 D
H
3
C
D2
B
G
练习3 如图，⊙O的直径AB的延长 线与弦CD的延长线相交⌒于点⌒P，E为 ⊙O上一点，AE=AC,DE交AB于点F，
求证：PF ● PO=PA ● PB
E
A
O·
F
B
P
D C
于F，FG切圆于G。 求证：（1）△DFE∽△EFA
（2）EF=FG
C
E
B
A
DF
G
例3 如图，两圆相交于A、B两点， P为两圆公共弦AB上任一点，从P引
两圆的切线PC、PD， 求证：PC=PD
C
P
A
B
D
例4 如图，AB是⊙O的直径，过A、 B引两条弦AD和BE，相交于点C， 求证：AC ● AD+BC ● BE=AB2
FG∥AC
（6）
B E
D F G
C
问题3：使AC继续绕A旋转，使割线 CFD变成切线CD，得到下图。 此时又能推出什么结论？
AC ∥ DG AD AE , CG CE
AD • CE AE • CG(7)
ACD∽ AEC , CD AD CE AC
AC • CD AD • CE(8)