第六章 材料力学

（3） 、将两个横向力 F’y、F’z 分别向弯曲中心 C 简化，得两个过弯曲中心，并分别平行 Fz=F’z（分别在 xy 平面和 xz 平面内引起平面弯曲） ， 于形心主轴得横向力 Fy、Fz，且 Fy=F’y， 及两个与轴线平行的力偶 mx1、mx2，取代数和得 mx（引起扭转，且在这里只考虑自由扭转） 结果如图 6-1c 所示。 （4） 、分别将引起拉伸（压缩） 、xy 平面内的平面弯曲、xz 平面内的平面弯曲及扭转的 载荷分量归并在一起，得到杆件各基本变形下的受力图，如图 6-1d 所示。 （5） 、分别画出杆件在各基本变形下的内力图，综合比较各截面的内力分量，得到可能 的危险截面上的内力分量，一般情况下有六个，即 FN、FSy、FSz、My、Mz 和 T。 2、内力分解法 （1） 、在欲求内力的截面上建立形心主轴坐标系 Oxyz（O 为截面形心，Ox 为截面外法 线，Oy、Oz 为截面形心主轴） 。 （2） 、应用截面法，将截面一侧的外力向该截面形心简化，得一个主向量 Re 和一个主 矩 Me，从平衡关系直接求得该截面上的总内力：一个主向量 R 和一个主矩 M，且 R=Re， M=Me，如图 6-2 所示。
1±
z F ⋅ z yF ⋅ y ± 2 =0 2 iy iz
(6-10)
可见，中性轴是一条不过截面形心的直线，它可能位于截面之内，也可能位于截面之外，或 与截面周边相切。这取决于叠加后截面上正应力的分布情况。 由上式可求得中性轴在 y、z 轴上的截距分别为
i2 ay = − z yF
az = −
2 iy
+
+
+ -
=
-
+
或
+
或
+
图
3、强度条件
危险截面可由内力图综合确定，危险点由应力分布规律确定，显然，危险点（最大应力 点）应在距截面中性轴最远点处。 危险点为（或可作为）单向应力状态，其强度条件为
σ max = σ max =
FN M y z M z y ± ± ≤ [σ ] A Iy Iz FN M y M z ± ± ≤ [σ ] A Wy Wz
σ =−
FN M y z M z y ± ± A Iy Iz
=−
F 1 ± z F 2⋅ z ± yF 2⋅ y A iy iz
(6-9)
式中 yF、zF 分别为偏心压力 F 作用点的坐标，iy、iz 为截面对 y、z 轴的惯性半径。 2、中性轴位置 由中性轴上各点的正应力均为零可得中性轴方程为：
FN M y z M z y ± ± =0 A Iy Iz
(6-7)
从而可见， 中性轴是一条不过截面形心的直线， 它可能位于截面之内， 也可能位于截面之外， 或与截面周边相切。这取决于叠加后的正应力在截面上的分布情况。 图 6-6（假定截面上只有 FN 和 My）显示了叠加后正应力分布的三种可能性。
（二）将组合变形分解为几种基本变形的两种途径
1、载荷分解法 （1） 、将任意方向的外力 F，在作用点分解为平行于轴线的纵向力 F’z 和平行于形心主 轴的横向力 F’y、F’z，如图 6-1a 所示。
( )
( )
(拉伸) (扭转) ( ( 平面内弯曲) 平面内弯曲)
( )
( ) +
图
（2） 、 将纵向力 F’x 向该截面形心简化， 得一与轴线重合的纵向力 Fx （引起拉伸或压缩， ，和一个集中力偶 m，再将集中力偶 m 沿两个形心主轴方向分解，得两个力偶分量 F’x=Fx） my、mz（分别在 xz 平面和 xy 平面内引起平面弯曲）结果如图 6-1b 所示。
（三）组合变形下杆件的强度计算
1、对杆件内各截面上的所用内力分量进行综合比较，确定可能的危险截面。 2、根据各种内力分量所对应的应力分布规律，判断可能的危险点。分别利用基本变形 的内力计算公式，计算该点处的应力，叠加（正应力取代数和，切应力取几何和）后得危险 点处的正应力σ和切应力τ。
3、根据危险点的应力状态，选用合适的强度理论，进行强度计算。 应该特别注意的是组合变形下杆件的可能危险截面和危险点一般都不止一个，切勿遗 漏。
(6-8a)
或Fra Baidu bibliotek
(6-8b)
式中 FN、My、Mz 分别为危险截面的内力；y、z 为危险点的坐标。 若材料的许用拉、压力不同，即[σt]≠[σc]，则拉、压强度均应满足。
（三）偏心压缩（拉伸）
杆件受偏心压力（或拉力） ，将同时产生压缩（拉伸）和弯曲变形，图 6-5b 就是偏心压 缩杆件。实质上，这是压（拉）弯组合变形的一种，由于土木工程中经常见到，故单独提出。 1、偏心压缩（拉伸）的应力 在图 6-5b 所示偏心压缩情况下，杆件各横截面上只有大小相同的轴力 FN、大小相同的 弯矩 My、Mz，不存在剪力，任一截面上任一点（y、z）处的应力为
α ϕ
力作用方向 ( ) ( ) 图 ( )
如果截面 Iy=Iz（如圆形截面、正方形截面） ，则α=ϕ，中性轴将与合成弯矩矢量的方位 重合，但这已不是斜弯曲而仅是垂直于中性轴平面内的平面弯曲。 3、截面上的应力分布和最大正应力 斜弯曲杆件截面上的正应力分布如图 6-4b 所示。最大正应力将发生在距中性轴最远点 处。 若截面有棱角，则最大应力点必在棱角处，如截面为矩形，则最大应力点必为棱角 b、 d 点（见图 6-4b） 。若截面无棱角，则最大应力发生于截面周边上平行于中性轴的切点处（见 图 6-4c） 。 4、强度条件 斜弯曲杆件的危险点在危险截面上发生最大应力点处。 危险点的应力状态为单向应力状 态或近似当作单向应力状态，故其强度条件为
( ) 图
( )
（四）弯扭组合
杆件同时受到横截面平面内的外力偶矩和横向力作用时， 将产生弯扭组合变形， 它是扭 转和弯曲两种基本变形的组合。 1、弯扭组合的应力 ， 弯扭组合变形杆件截面上的内力分量有扭矩 T，弯矩 My 和 Mz（或只有其中的一个） 剪力 FSy、FSz 通常略去不计。因而该截面上任一点（y、z）处的应力分量有扭转切应力τ和 弯曲正应力σ。 发生弯扭组合变形的杆件，截面大都是圆形或空心圆形，故应先计算两个弯矩 My、Mz 的合成弯矩 M，再按平面弯曲计算弯曲正应力σ。 若弯扭组合变形杆件的截面为非圆截面，则弯曲正应力σ按斜弯曲计算，扭转切应力τ 按非圆截面扭转计算。 2、强度条件 弯扭组合杆件的危险截面应综合弯矩图和扭矩图加以确定。 若截面为圆或空心圆， 则危 险点位于合成弯矩作用面与横截面相交的截面外缘处； 若截面为非圆截面， 则危险点应按截 面上弯曲正应力σ和扭转切应力τ的分布情况综合考虑加以确定。 一般来说，弯扭组合杆件的危险点处于二向应力状态，因此，其强度计算应选择合适的 强度理论，并按该理论的强度条件进行。 对于塑性材料，选用第三或第四强度理论时，其强度条件分别为 第三强度理论
( )
ϕ
图
1、斜弯曲杆的应力 将斜弯曲分解为在两个形心主惯性平面内的平面弯曲， 然后分别计算其应力， 再进行叠 加。则任意截面上任意点（y、z）处的正应力为
σ =
M yz Iy
+
Mzy Iz
(6-1)
式中 My、Mz 分别为主惯性平面 y、z 内的弯矩，y、z 分别为计算应力点的坐标，Iy、Iz 分别 为截面的两个形心主惯性矩。 一般情况下，任意截面上还有剪力 FSy 和 FSz，因而该点处还有切应力。通常在斜弯曲 问题中，剪力引起的切应力可忽略不计。 2、中性轴位置 由中性轴上各点的正应力均为零，可知任一截面上中性轴方程为
(6-12)
4、截面核心 使偏心压缩 （拉伸） 杆横截面上只产生同号应力即只产生压 （拉） 应力时， 偏心压力 （拉 力）作用的区域，称为截面核心。截面核心是截面形心附近的一个区域。当偏心压力（拉力） 作用在截面核心范围内（含截面核心周界线）时，截面的中性轴必在截面之外或与截面边界 相切。 因此， 确定截面核心的范围即确定截面核心的周界时， 可作若干条与截面相切的中性轴， 分别求出其截距 ay、az，然后再按式（6-11）反求偏心压力（拉力）作用点的坐标 yF、zF， 这些点的连线就是截面核心的周界线。 截面核心及其周界线确定方法见图 7 所示。
zF
(6-11)
式中负号表明，截距 ay、az 总是与 yF、zF 异号，可见中性轴与偏心压力作用点总是处于形心 的两侧。 3、强度条件 偏心压缩（拉伸）杆任异横截面均为危险截面。危险点位于距中性轴最远点处。 危险点得应力状态为单向应力状态，其强度条件为
σ max = −
F 1 + z F 2⋅ z + yF 2⋅ y ≤ [σ ] A iy iz
2 w = wy + wz2
(6-5)
合成挠度的方位垂直于中性轴，所以并不在外力作用平面内。
（二）拉（压）弯组合
当杆件受到轴向力 Fx 及横向力 Fy（或 Fz，或 Fy、Fz 兼有）作用，如图 6-5a 所示，则 杆件处于拉（压）弯组合变形。但有些受力杆件是在外力向截面形心分解后，才具有上述特 点，如图 6-5b、c 所示。
第六章
组合变形
一、内容提要
组合变形形式是指除拉伸、压缩、平面弯曲、自由扭转等基本变形形式以外的其它变形 形式。在工程实际中，杆件的受力变形情况种类繁多，但根据叠加原理及圣维南原理，它们 均可以简化为几种基本变形形式的组合。
（一）杆件在组合变形下的应力计算方法
1、在小变形和线弹性条件下，杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响，即杆上同时 有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变形或应力） ，不影响另一种力对杆的作用效果 （或影响很小可以忽略） 。因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下杆件内应 力的叠加。本章中组合变形下杆件的应力计算，将以各基本变形的应力及叠加法为基础。 2、叠加法的主要步骤 （1） 、将组合变形按照各基本变形的条件，分解为几种基本变形，简称分解。 （2） 、利用基本变形的应力计算公式，分别计算各点处的正应力和切应力。 （3）将分别计算得到的同一截面同一点上的正应力取代数和，得到组合变形下该点处 的正应力σ；将分别计算得到的同一截面同一点上的切应力取几何和，得到组合变形下该点 处的切应力τ，简称叠加。 因此计算步骤概括为： 分解——分别计算——叠加 其关键是分解。
M yz Iy
+
Mzy =0 Iz
(6-2)
由上式可见，中性轴为一过截面形心的直线，其方位角为（见图 6-4a 所示） ：
tgα = −
y Iz ⋅ M y Iz = = tgϕ z Iy ⋅Mz I y
(6-3)
通常，Iy≠Iz，所以α≠ϕ，可见中性轴不与合成弯矩矢量的方位重合或平行。
中性轴 中性轴 中性轴
σ max =
M yz Iy My Wy
+
Mzy ≤ [σ ] Iz
(6-4a)
或
σ max =
+
Mz ≤ [σ ] Wz
(6-4b)
式中 My、Mz 为危险截面的两个弯矩；二者不一定同时是 Mymax 和 Mzmax；y、z 为危险点的坐 标。 若材料的许用拉、压应力不同，即[σt]≠[σc]，则拉压强度均应满足。 5、挠度计算 先分别求出两平面弯曲的挠度弯 wy 和 wz，然后按几何和叠加，故合成挠度为
( )
( )
图
（3） 、将主矩 M 沿 Oxyz 三个坐标轴方向分解，得三个力偶分量 T1（扭矩） 、My 和 Mz （弯矩） 。 （4） 、将主向量 R 沿三个坐标轴分解，得一个轴力 FN 和两个剪力 FSy 和 FSz。当截面弯 曲中心与形心不重合时，还须将 FSy 和 FSz 向弯曲中心简化，得两个剪力 FSy 和 FSz 及两个扭 矩 T2 和 T3。 （5） 、将所有扭矩 T1、T2、T3 取代数和，得到该截面上的总扭矩 T。最后在该截面上得 到与基本变形要求一致的内力分量，一般有六个，即 FN、FSy、FSz、My、Mz 和 T。 以上两种分解方法，可根据具体情况灵活应用，一般直杆多用载荷分解法，曲杆多用内 力分解法。
( )
( )
α
( )
图
1、拉（压）弯组合的应力 拉（压）弯组合杆件的横截面上的内力有轴力 FN、弯矩 My、Mz 或者其中之一。 （横截 面上的剪力 FSy、FSz 忽略不计） 所以，横截面上任一点（y、z）处的正应力为
σ=
FN M y z M z y ± ± A Iy Iz
(6-6)
式中 A 为横截面面积，Iy、Iz 为截面对形心主轴 y、z 的惯性矩。 2、中性轴位置 由中性轴上各点的正应力均为零可得中性轴方程为
（一）斜弯曲
斜弯曲是两个相互正交的形心主惯性轴平面内平面弯曲的组合变形。 当杆件在两个相互正交的形心主惯性平面内分别有横向力作用时（如图 6-3a 所示）或 杆件所受的横向力不与杆件的形心主惯性平面重合或平行时（如图 6-3b 所示）杆件发生斜 弯曲。杆件变形后的轴线与外力不在同一纵向平面内。
( )
二、基本要求
本章的基本理论为：理论力学中力系的简化，平衡问题的求解；截面图形的几何性质， 如形心、形心主惯性轴；基本变形内力、应力的分析与计算；叠加原理；应力状态分析与强 度理论的应用等。 要求在掌握上述基本理论的基础上， 解决斜弯曲、 拉弯组合、 偏心压缩 （拉 伸）及弯扭组合变形的应力计算问题。