第五章 微扰理论

第五章 微扰理论

前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单的问题。如：

（1） 一维无限深势阱问题 （2） 线性谐振子问题 （3） 势垒贯穿问题 （4） 氢原子问题

这些问题都给出了问题的精确解析解。

然而，对于大量的实际问题，薛定谔方程能有精确解的情况很少。因此，量子力学求问题近似解的方法就显得特别重要。 近似解问题分为两类

（1） 体系的哈密顿量不是时间的显函数——定态问题 （2） 体系的哈密顿两显含时间——状态之间的跃迁问题

我们重点是介绍第一类方法：a 、定态微扰；b 、变分法

§5.1 非简并定态微扰理论

一、微扰体系方程

可精确求解的体系叫做未微扰体系，待求解的体系叫做微扰体系。假设体系的哈密顿量不显含时间，而且可以分为两部分：

H H H '+=ˆˆˆ)0( （1）

其中 )0()0()0()0(ˆn

n n E H ψψ= （2） 即由)0(ˆH 所描写的体系是可以精确求解的。（已知）

另一部分H

'ˆ是很小的，可以看作加于)0(ˆH 上的微小扰动。新在的问题是如何求

解微扰后哈密顿量H 的本征值和本征函数，即如何求解整个体系的薛定谔方程：

n

n n E H ψψ=ˆ （3） 当0 H ='时，)

0()0(,n n n n E E ==ψψ

当0H ≠'时，引入微扰，使体系的能级发生移动。

既然是微扰，显然，)0(n ψ、)

0(n E 则应是波数和能量的主要部分。设：

+++=)2()1()0(n n n n E E E E （4） +++=)2()1()0(n n n n ψψψψ （5） 其中)0(n E ，)0(n ψ是零级近似，)1(n E ， )2(n E 和)1(n ψ， )

2(n

ψ分别是体系能量和波函数的一级修正和二级修正。它们具有不同的数量级。

二、关联方程

下面我们建立零级近似，各级修正之间的互相联系的方程，将（4）（5）代入（3）式得（并把同数量级的写在一起）

++++++=+'++'++)()()ˆˆ()ˆˆ(ˆ)

0()2()1()1()2()0()0()1()1()0()0()0()1()2()0()0()1()0()0()0(n n n n n n n n n n n n n

n n n n E E E E E E H H H H H ψψψψψψψψψψψ

这个等式的两边同级修正的项应相等，由此可得到下面一系列的关联奉承。

零级 )0()0()0()0(ˆn n n E H ψψ= （6） 一级 )0()1()1()0()0()1()0(ˆˆn n n n n n E E H H ψψψψ+='+ （7） 二级 )0()2()1()1()2()0()1()2()0(ˆˆn

n n n n n n n E E E H H ψψψψψ++='+ （8） 三、能量和波函数的一级修正

下面讨论)

0(n E 无简并的情况

上面的（6）式就是)0(ˆH 的本征方程，可精确求解（已知），（7）式是一级

修正所满足的方程。

将（7）式移项可化为：

)0()1()1()1()0()0(]ˆ[]ˆ[n n n n E H E H ψψ--=- （9） 将波函数的一级修正)1(n ψ按)0(ˆH

的本征函数系展开，即 ∑=m

m m n c )

0()1()1(ψψ （10）

将（10）式代入（9），则得

()ψψ

)0()1()0()

0()0()1(n

n m

n

m

m

m

E H E E

C

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=--'∑∧

（11）

以*0ψk

左乘上式两边，并对全空间积分，利用ψ

)0(n

的正交归一性，可得

τψψ

δδd E E E

C n k

kn n km n m

m m

H )

0()

0()1()0()0()

1(*][⎰'∑

∧

-=-

或

kn

kn n km n m m m

H E E E C '-=-∑

δδ)

1()0()0()1(][ (12) kn kn n n

k k H E E E C '-=-δ)

1()0()0()1()( (12)* 式中 τψψd H H n k

kn

)

0()

0(*⎰∧

'=' (13)

称为微扰矩阵元。 1）能量的一级修正

由（12）知，当n k =时，1=kn δ，得

nn n n n H d H E '='=⎰τψψ)

0(*)0()1(ˆ (14) 即能量的一级修正)1(n E 等于H 'ˆ在)0(n ψ态中的平均值。

2）波函数的一级修正

当n k ≠时，由（12）*式可得（此m k =的项存在）

n k E E H C n

k nk

k ≠-'=

)

0()0()1( (15)

将)1(k C 代入（10）式（∑=m

m m n c )

0()1()1(ψψ）得

)()

0()0()0()1(n k E E H k n

k nk

k

n ≠-''

=∑

ψψ （16）

式中求和号'

∑k

右上角加一撇，以表示在对k 求和时，要除开n k =的一项。

这样，能量和波函数的一级近似为：

能量的一级近似： nn n n H E E '+=)

0()1( （17）

波函数的一级近似：

)0()

0()0()0()

1(k n

k nk

k

n

n

E E H ψψ

ψ-''

+=∑

（18） 四、能量的二级修正

设 )

2()0()2(m m

m n C ∑=ψψ （19）

代入（8）式，并利用零级和一级近似得：

)0()2()0()0()1()0()0()2(m m m

n

m

m

m

m

m m m

C E

C H E C ψψ

ψ

∑

∑∑

∞

∞

∧

∞

='+

)

0()2()0()2(n n m m m

nn

E C H ψψ+'

'+∑∞

（20）

用*

)0(k ψ左乘上式并积分，得

kn n k nn k n km m m

k

k

E C H C E H C E

C δ)

2()1()2()0()1()0()

2(+''+=''+∑

∞

当n k =时，注意到0)

1(=m

C ，则由此式得能量的二级修正。 )

0()0(2

)0()0()1()

2(m n mn

m

nm m n mn m

nm

m m

n E E H H E E H H C E -''='-''

=''=∑∑∑

（21） 在这里，我们用到了算符∧

'H 的厄密性：*mn mn H H '=' ∴能量的二级近似为：

)0()

0(2)

0()2(m

n

mn

m

nn

n n E

E

H H E E -''+'+=∑

（22）