优选第二章线性时不变系统

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二.卷积积分(The convolution integral)
2.2
对于LTI系统的时不变性,若 (t) h(t)

则 (t ) h(t )


x t x ht

LTI

即,若 x(t) x( ) (t )d
统 :
根据线性性质:yt x ht d
卷 积 积
1).由xn xk
y n xn hn xk hn k
k
,k轴上其非零取值区间是固定的;
2.1

2).由
反转
右移动n 个单位
hn hk hk hn k,非零区间随n而变化;

时 3).将 hn k 从左到右移动,分步确定随着n的变化,被
间 求和函数的非零区间,确定求和上下限的k值。


对任何离散时间信号,如果每次从其中取出一个点,
间 就可以将整个信号拆开来,每次取出的一个点都可以表示
LTI
为不同加权、不同位置的单位脉冲。
系 统
所以任意一个离散时间信号都可看作一串单个脉冲来
: 想象。
卷 积
n
例如: un n n k
k
k 0

下图为用多个单位脉冲表示一个离散时间系统:

LTI
系 统
t

0
k (k 1)
卷 积
第 k 个矩形可表示为:x(k) (t k)
积 分
这些矩形迭加起来就成为阶梯形信号 x (t) ,即:
x (t) x(k) (t k)
k
x (t) x(k) (t k) k
2.2
连 续 时
当 0 时,k ,(t k) (t ) , d ,
LTI

1
1
统 : 卷
k ...
k
积0
0
n

通过图形确定反转移位信号非零区间,对于确定卷积
和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的(见P65例
2.5), 这种方法一般分5个求和区间进行计算。
例2 采用列表法z
观察卷积和运算式子过程,可以发现:
2.1
① xn与 h所n有 的各点都要遍乘一次;
离 散 时
2.1
离 convolution sum)。

时 间
yn xk hnk xnhn
k
LTI
系 三.卷积和的计算
统 : 卷
1.主要方法:图解法、列表法、解析法(数值解析等)
2.运算的步骤(一般情况下,已知 xn、hn ):


通常采用图解和解析法相结合。完成卷积运算,确
定被求和函数、求和上下限,一般分三步完成运算。
LTI

xk n k xkhn k
k
k

: 卷 积
xn yn 结论:对时不变系统,若已知单位冲激响应 hn, 则:

xn yn xk hnk
单位脉冲相应已 知,则任意输入
k
的输出就可求出
上式表明:一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表
征,这种求得系统响应的运算关系称为卷积和(The
定义卷积积分:yt x ht d xt ht
分 上式表明:
LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应 h(t)来表征。这种求得系统响应
的运算关系称为卷积积分(The convolution integral)。
三.卷积积分的计算
yt x ht d xt ht
2.2
卷积积分与卷积和类似,求解的方法有图解法、解析法 连 续 和数值解法。
2.1
LTI
离 散 时 间
系 统 : 卷 积
和 任意xn可分解为移位加权的单位脉冲信号的线性组合:
xn xk n k k
二. 卷积和 (Convolution sum)
设线性时不变系统的单位冲激响应为 h,n 即:
2.1

n hn

则由时不变性: n k hn k


由线性系统性质: xk n k xkhn k
② 在遍乘后,各点相加时,根据 yn x,kh参n 与k相加的各点都具有

的x变k 量之h和n 为 k的特点。
k
n

LTI
h(n)
系 统
h(1) 1
: h(0) 2
卷 积 和
h(1) 0 h(2) 3
h(3) 1
x(n) x(0) x(1) x(2) x(3) 1021
y(1) 1 0 2 1 2042
,于是:

LTI
x(t) x( ) (t )d

统 这一关系也可以根据 (t)的性质直接推导而来 :

卷 x( ) (t )d x(t) (t )d x(t) (t )d x(t)

积 分
表明:任何连续时间信号 x(t )都可以被分解为无数多个移位
加权的单位冲激信号的线性组合。
优选第二章线性时不变系统
如果解决了上述几个问题,任意信号通过线性时不变系统,都 可以用下列步骤来解决:

xi (t) yi (t)
2.0
则 x(t) ai xi (t)
y(t) ai yi (t)
i
i

言 对LTI系统的分析有哪些方法?
时域分析法、频域分析法和变换域分析法,分别对应时
域、频域、变换域。
本章主要内容

二 章
➢信号的时域分解——用 n或 t 表示任意信号;
➢系统的时域分析——卷积运算(卷积和、卷积积分); 主
要 内
➢用微分和差分方程描述的因果LTI系统;

➢LTI系统的框图结构表示。
2.1离散时间LTI系统:卷积和 (Convolution sum)
2.1
离 一、用单位脉冲表示离散时间信号
续 时
单位距形脉冲定义

1
LTI
(t )

0
0t otherwise

: 卷
(t
)
1 0
0t otherwise

积 分
(t
k
)
1 0
k t (k 1) 其它t
(t)
1
0
t
(t k)
1
0 t k (k 1)
将x(t)用一系列的矩形脉冲近似。
2.2
x(t)
连 续 时
x (t)
x(k)
y(0) 0 0 0 0 y(1) 3 0 6 3
y(2) 1 0 2 1
优点: 计算非常简单。 缺点: ①只适用于两个有限长序列 的卷积和;
②一般情况下,无法写出yn
的封闭表达式。
y(3) y(4) y(5) y(6)
§2.2 连续时间LTI系统:卷积积分
2.2
连 一.用(t) 表示连续时间信号x(t)
LTI

注意:此时的n可以看成一个常数

: 例1 已知 xn nu n 0 1,求LTI系统对输
Hale Waihona Puke Baidu
卷 积
hn u n
和 入信号的响应 yn。
解:采用图解法
2.1
yn xk hn k kuk un k

k
k
散 时 间
n k 1 n1 u n
k 0
1
xk kuk
hn k un k
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