薛定谔方程及其应用

由标准条件，波函 数在阱内外不能突变。
( x) 0
4
４、波函数应满足的条件
1）标准条件 粒子在某一个时刻t，在空间某点上粒子出现的几 率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值的、 有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变， 所以波函数还必须是连续的。
波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件，称 为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连续可 微，且一阶导数也连续可微。 2）归一化条件 由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任 意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以 应有： | |2 dV 1
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23.9 薛定谔方程的简单应用
一、一维无限深势阱
考虑在一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域 内（x=0到x=a）为零，而在此区域外势能为无限大，
U ( x)
0 (0 x a )
( x 0及x a )
U ( x)
粒子只能在宽为 a 的两个无限 高势壁间运动，这种势称为一维 无限深方势阱。
2
方程（1）的解为： f ( t ) ce
i Et
Et
（c为任一常数） 将 f ( t ) ce 代入 ( r , t ) ( r ) f ( t ) ， 并把常数包含在 ( r ) 中，这样 就得到薛定谔方程的特解为：
定态薛定谔方程
( r , t ) ( r )e
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若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场 中运动，则其薛定谔方程为：
2 2 2 2 ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) i [ ] 2 2 2 t 2m x y z U ( r , t ) ( r , t ) ⑥
ˆ i 则⑦式可写为： H
t
这就是薛定谔方 程的一般形式。
薛定谔方程是量子力学的最基本的方程，是 量子力学的一个基本假设。
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三、定态薛定谔方程 定态：能量不随时间变化的状态。
如果粒子的势能并不随时间而变化，即： U=U(x,y,z)，它不包含时间（在经典力学中这相应 于粒子机械能守恒的情况）。
21.5 波函数 一 、波函数
薛定谔方程
1、经典的波与波函数 机械波
电磁波
x E ( x, t ) E0 cos 2π (t )
y ( x, t ) A cos 2π (t )
x

经典波为实函数
H ( x, t ) H 0 cos 2π (t )
i 2 π (t ) x
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2 ( r , t ) 2 代入 i ( r , t ) U ( r , t ) ( r , t ) t 2m 2 2 i [ ( r ) f ( t )] [ ( r ) f ( t )] U ( r ) ( r ) f ( t ) t 2m 两边除以 (r ) f (t )，可得： 2 1 f (t ) 1 2 i [ (r ) U (r ) (r )] f (t ) t (r ) 2m
2.薛定谔方程的一般形式
若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其 势能函数为EP＝Ｕ(x,t)，则粒子的总能量应为：
p E U ( x, t ) 2m
2
此时的薛定谔方程为：
( x , t ) 2 2 ( x , t ) i U ( x , t ) ( x , t ) ⑤ 2 t 2m x
2 | (r , t ) | | (r )e
将 ( r , t ) ( r )e
i Et 2
2 | | (r ) |
i Et 与自由粒子的波函数表达式
( x, t ) Ae
i ( Et px )
比较:
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应用定态薛定谔方程处理实际问题的一般步骤： （1）找出问题中势能函数的具体形式，代入相应 的薛定谔方程； （2）用分离变量法求解波函数； （3）由波函数归一化条件和标准条件，确定积分常数； （4）求概率密度并讨论其物理意义。
在这种情况下，可以用分离变量法把波函 数写成空间坐标函数和时间函数的乘积，即：
( r , t ) ( r ) f ( t ) 2 ( r , t ) 2 代入 i ( r , t ) U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
0 (0 x a ) U ( x) ( x 0 , x a )
U ( x )
d U E 2 2m dx
2 2
2 d 2 E 2 2m dx
须有

U(x)
0
( x) 0
0 a
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边界条件：
(0) (a ) 0
概率密度分布取决于空间各 点波强的比例，并非取决于 波强的绝对值。 因此，将波函数在空间各 因此，将波函数在空间各 点的振幅同时增大 C倍，则 该处的能流密度增大 C2 倍， 点的振幅同时增大 C倍，不影 响粒子的概率密度分布，即 变为另一种能流密度分布状 和C 所描述德布罗意波的状 态。 态相同。 波动方程无归一化问题。 波函数存在归一化问题。
1 f ( t ) 1 2 2 i [ ( r ) U (r ) (r )] E f (t ) t (r ) 2m
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1 f ( t ) 1 2 i [ ( r ) U (r ) (r )] E f (t ) t (r ) 2m f ( t ) i Ef ( t ) （1） t 2 2 ( r ) U ( r ) ( r ) E ( r ) （2） 2m i
( x, t ) Ae
i
2 ( Et Px ) h
注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来 表达。不能用实数形式来表达。
2
３、波函数的统计解释 与光波类比，物质波的强度：
I | |2 正实数
*是 的共轭复数。
由玻恩的统计解释，在某处德布罗意波的强度是 与粒子在该处出现的概率Ｗ成正比的。
为书写方便，我们引入拉普拉斯算符：
2 2 2 2 2 2 2 x y z
则上式可写为：
2 ( r , t ) 2 i ( r , t ) U ( r , t ) ( r , t ) t 2m
⑦
14
( r , t ) 2 2 i ( r , t ) U ( r , t ) ( r , t ) ⑦ t 2m i j k x y z 2 ˆ 2 U 引入哈密顿算符：H 2m
W | |
2
某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子 的概率为： dW 2 dV *dV
| |2 为粒子在某点附近单位体积内粒子出 由此可见， 现的几率，称为几率密度。即： 2
| |
3
根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理 意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来 说，物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的， 物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计 规律。 波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于 波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统 计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
x

y ( x, t ) Re[ Ae

]
1
2、量子力学波函数（复函数） 自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动 过程中作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和 动量保持不变。 E h , 对应的德布罗意波的频率和波长： h P 结论：自由粒子的物质波是单色平面波。
波函数为：
对三维空间，沿矢径 r 方向传播的自由粒子的
7
例：作一维运动的粒子被束缚在0<x<a 的范围内，已知其波函数为：
x A sin
x
a
求：(1)常数A；(2)粒子在0到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何 处出现的概率最大？ 解：(1)由归一化条件

a/2


dx A
2
2
sin
0
a
2
x
a
dx 1

0
2 dx a
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意义 1）是固体物理金属中自由电子的简化模型；
2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理 在其中以简洁的形式表示出来。
d U E 薛定谔方程： 2 2m dx
2 2
d 2 x 2mE 2 x 0 2 dx
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1.势能函数 2.薛定谔方程 阱外
一、薛定谔方程
所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它 必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
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1.自由粒子的薛定谔方程 动量为P 、质量为m、能量为E的自由粒子， 沿 x 轴运动的波函数为：
( x, t ) Ae
对时间求微商，得到：
i
2 ( Et px ) h
( x , t ) 2 i E0e t
i Et
定态波函数
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( r , t ) ( r )e
2
i Et
定态波函数所描述的状态称为定态。
2 ( r ) U ( r ) ( r ) E ( r ) 方程 2m
ˆ 称为定态薛定谔方程。 H (r ) E (r )
i ( Et px )
p E 2m
2
③
2 2
( x , t ) ( x , t ) 比较以上三式，可得： i ④ 2 t 2m x 12
( x , t ) ( x , t ) ④ i 2 t 2m x
2 2
这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。
i ( Et px )
i E( x , t )
①
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( x , t ) i E0e t
对 x 求二阶偏导：
i ( Et px )
i E( x , t ) ①
( x, t ) Ae
i ( Et px )
( x , t ) i i p0e p( x , t ) x i 2 2 ( Et px ) ( x , t ) ip 2 p ( ) 0e 2 ( x , t ) ② 2 x
粒子在0到a/2区域内出现的概率
8
二、薛定谔方程
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经典力学中，已知力 F 及 x0、 υ 0，可由牛顿方 程求质点任意时刻状态。 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来 描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。
当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后 时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。

V
5
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只 有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
6
德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
经 典 波
是振动状态的传播
波强（振幅的平方）代 表通过某点的能流密度 能流密度分布取决于空间 各点的波强的绝对值。
德布罗意波
不代表任何物理量的传播 波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度
2
a/2

0
1 sin dx a 2
2
x
解得
a 2 A 1 2
(3)概率最大的位置应该满足
2 A a
(2)粒子的概率密度为
2
2 2 x sin a a
d 2 2x 2 sin 0 dx a a 即当 2x k , k 0,1,2, a
时，粒子出现的概率最大。因 为0<x<a，故得x=a/2，此处粒 子出现的概率最大。