角平分线(一)教学设计

第一章证明（二）

４．角平分线（一）

一、学生知识状况分析

本节在学习了直角三角形全等的判定定理及已有公理和学过的定理的基础上进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，学习角平分线的画法，并还能说明所作的射线是角平分线的理由，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．

二、教学任务分析

本节课的教学目标是：

1．知识目标：

①角平分线的性质定理的证明．

②角平分线的判定定理的证明．

③用尺规作已知角的角平分线．

2．能力目标：

①进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．

②体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．

3．情感与价值观要求

①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

4．教学重点、难点

重点

①角平分线的性质和判定定理的证明．

②用尺规作已知角的角平分线并说明理由．

难点

①正确地表述角平分线性质定理的逆命题．

②正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明．

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：设置情境温故知新；第二环节：展示思维空间.构建活动空间；第三环节：随堂练习及时巩固；第四环节：课时小结；第五环节：课后作业

第一环节：设置情境温故知新

搭建探究平台问题

我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：

从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，

即角平分线上的点到角两边的距离相等．

你能证明它吗?

第二环节：展示思维空间.构建活动空间

请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．

求证：PD=PE．

证明：∵∠1=∠2，OP=OP，

∠PDO=∠PEO=90°，

∴△PDO≌△PEO(AAS)．

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．

(教师在教学过程中对有困难的学生要给以

2

1

E

D

C

P

O

B

A

指导)

我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题．你能写出这个定理的逆命题吗?

我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．

如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”

教师肯定这位同学思考问题很仔细．并加以解释。事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．如上图所示，到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB 的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．

再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题。

在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

它是真命题吗? 你能证明它吗?

[生]没有加“在角的内部”时，是假命题．

(由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) 证明如下：

已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，

求证：点P在么AOB的角平分线上．

证明：PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO=∠ PEO=90°．

在Rt△ODP和Rt△OEP中

OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)．

∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．

逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。

你能用什么办法平分一个已知角呢?能利用角平分线的性质定理和判定定理平分一个角吗？请在小组内交流．

学生提出：可以用量角器、三角尺、角尺等以前常见的方法．

教师提出：学习的是用直尺和圆规平分一个已知角．

已知：∠AOB(如图)

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．

作法：1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE．

2．分别以D、E为圆心，以大于1

2DE的长为半径作弧，两弧在么AoB内

交于点C．

3．作射线OC

OC就是∠AOB的平分线．

(教学时，教师可以边介绍作法，边让学生动手完成整个

操作过程)

完成做法后，请学生说明OC为什么是∠AOB的平分线，

与同伴交流．

从作图的过程中，不难发现OD=OE，CE=CD，OC=OC，

△OCEC≌△OCD(SSS)．

∴∠1=∠2，即OC是∠AOB的角平分线．

第三环节：随堂练习及时巩固

如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？

解：∵AD平分∠CAB．

∴又∠1=∠2=1

2∠CAB

又∵AE平分∠CAF．∠CAB+∠CAF=180°，

F

E

D

C

B

4

3

2

1