数学经验模型的理论初探

数学经验模型的理论初探

小学数学中有一些方法没有给出推导过程或算理说明，只是根据举例观察、实践操作得来的经验建立解题模型，如能被 2、3、5整除的数的特征。某些具体问题，如简单的排列组合计数（用列举法）、探索规律、统筹问题等，需要我们寻求经验模型的理论解释，尽可能为学生创造感悟其理论背景的机会。

如案例：“烙饼问题”中的“数学味”是什么？

“烙饼问题”是人教版教材四年级上册的教学内容，问题是这样的：妈妈给一家三口每人烙一张饼，家里的一只平底锅每次最多只能烙两张饼，两面都要烙，每面要3分钟，怎样才能尽快吃上饼？如果要烙的是 4张、5张……10张饼呢？你有什么发现？

从近年来发表的相关教学研究案例来看，本课教学的基本线索都是通过操作活动（动手操作或头脑中的思想操作）探索交流 3张（4张、5张……）饼的最佳（费时最少）烙法，从实践中发现规律，归纳并数学地表述烙法的操作模式。如果要烙的张数是双数，两张两张地烙就可以了，即每两张按“1正2正→1反2反”烙。如果要烙的张数是单数，可以先两张两张地烙，最后 3张按“1正2正→1反3正→2反3反”的方法来烙就可以了，进而引导学生发现烙饼所需

的总时间与烙饼张数之间的关系：总时间=张数×3。

从数学建模的观点来看，这样的教学，其缺陷是显而易见的――既没有对这一操作模式何以为最佳作出数学的分析，也没有对烙饼张数与所需总时间之间何以存在这一关系作出数学的解释，更没有进一步的推广。这就在一定程度上造成了数学课堂教学中理性涵养的缺失――既缺乏实践基础上的数学理论分析，更没有理论对实践的指导作用。要体现“烙饼问题”的“数学味”，四年级的知识基础是不够的，放到六年级效果会更好，教学可以分成三个阶段进行。

第一阶段：从实践到理论。呈现问题后，通过学生的独立探索、交流比较，给出每次最多烙两张，烙 3张饼费时最少的烙法。通过提问“能不能列个算式来说明一下为什么最少要烙 3次”引导学生思考，给出一个理论性说明：一张饼有两面，3张饼共有3×2=6面，每次最多烙两张饼，也就是每次最多可以烙两面，6面最少要烙6÷2=3次，一共需要3×3=9分钟。

第二阶段：理论指导实践。呈现进一步探索的问题：如果要烙 4张、5张、6张……10张饼呢？你有什么发现？引导学生先计算所需的最少次数，然后再想怎么烙：4×2=8（面），8÷2=4（次），4×3=12（分钟）。体会从理论的“可能性”到实践的“可行性”的思想方法：通过计算可以知道所需的最少次数，这就从理论上证明了存在一个可能的结

果，我们就有了一个目标，然后看设计的烙饼方案有没有达到目标。如果达到，就不用再想了，反正结果都一样；如果没有，就要再想一想，有没有可能改进。这就是在实践上检验是否可行。通过进一步的探索交流，得出烙饼的张数与所需总时间之间的关系：总时间=饼的张数×3。解释：假设要烙a张饼，需要烙 a×2面，烙的最少次数是a×2 ÷2=a次，需要a ×3分钟。a张饼最少a次的烙法是可以实现的：如果a是双数，2张2张地烙就可以了，烙完正面烙反面（中途不离锅）；如果a是单数，a=双数+3，双数次按上述双数次的烙法进行，还有3张按“1正2正→1反3正→2反3反”的方法来烙（有饼中途离锅）。

第三阶段：进一步地探索。呈现进一步的研究问题：如果平底锅每次最多可以烙 3张饼，其余条件不变，烙4、5、6、7、8、9、10……张饼最少需要多少时间？怎么烙？仍然可以按照“先计算，后设计”的思路研究、解决问题。得到：

学生发现：其实只要研究张数为 4、5、6的三种情况就可以了，其他的情况都可以表示成a×3+4、a×3+5、a×3+6，a×3就是3张3张正反烙，再加上4、5、6张的烙法循环着用，就能解决所有的问题。“烙饼问题”的数学建模涉及剩余系和剩余类的概念，学生所说的“只有研究张数为4、5、6的三种情况就可以了”，其实就是选取一个完全剩余

系作为研究对象，而a×3+4就是用a×3的烙法加上4张的烙法循环使用”，其实就是通过剩余系中各元素的研究，把所有的结果推广到相应的剩余类。这样的教学凸显了建模的数学本质，既有理论对实践的指导，也有实践对理论的检验，更为后续学习完全剩余系和剩余类等概念打下了扎实的基础。通过引导学生用新的观点反思改进“每次最多烙两张”的建模过程，有利于学生体会数学内在的统一与和谐。

让我们试着揣摩一下案例的教学思路是如何形成的，其中最重要的就是教师要很好地把握“烙饼问题”的数学本质：剩余系和剩余类的概念。通过对剩余系中各元素的研究，把所得的结果推广到相应的剩余类，以此为指导，遵循“从实践上升到理论，以理论进一步指导实践”的认识规律组织教学过程，通过引导学生寻求经验模型的理论解释，学习思考问题的方法。