第三章 第二节 高斯光束与球面谐振腔自再现模式 (1)
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第二节 高斯光束与球面谐振腔自再现模式
第二章 ik U n ( x, y ) 衍射理论 4
1 cos ik ( x , x, y , y ) U ( x , y ) e dxdy n ( x, x, y, y) M1
M1
稳定球面谐振腔
M2
基模：高斯光束 高阶模：厄米-高斯光束或者拉盖尔-高斯光束
RM 2B D A B 1 ( A D)1/ 2 4 1/ 2
1/ 2
出发平面M处的： 等相位面曲率半径 光斑半径 出发平面M处：
1 ( A D) / 4 1 D A i qM 2B B
2
M
qM
( A D) i 1 ( A D) / 4 2C C
L ( R2 L ) z0 2 L R1 R2 L( R1 L)( R2 L)( R1 R2 L) f (2 L R1 R2 ) 2
2
开放球面谐振腔中的自再现模式求解
方法一：用等价共焦腔（衍射理论） 方法一只适用于两球面镜
方法二：用高斯光束自再现变换 方法二适用于更一般结构复杂的谐振腔
腔内有调制器 折叠腔 实际激光器的谐振腔要复杂一些，自再现模求解需要 利用上面小节所介绍高斯光束的ABCD变换概念
高斯光束在球面谐振腔中的自再现变换
初始出发平面M, 高斯光 束从此出发，q参数为
qM
' qM
高斯光束回到初始出 发平面，q参数为 高斯光束ABCD定律
AqM B q CqM D
q参数必须是一个复数
A D 1 所以： 1 2
正是第二章所介绍的稳定性判据
高斯光束在球面谐振腔中的自再现变换
也就是说，如果谢振腔是稳定的，自再现模式q参数必为复数， 其自再现模式为高斯模式； 反之，如果谢振腔是不稳定的，q参数必为实数（球面波曲率 半径），其自再线模式为第二章第六节所介绍的为球面波或平 面波。
2
z0
( A D) 2C
距离光腰百度文库距离
共焦参数
1 ( A D) 2 / 4 f C
高斯光束在球面谐振腔中的自再现变换
例子：稳定球面谐振腔 R1
C1
R2 f
C2
M1 Z1
Z2 M2
如果起始面选在M1镜上，往返矩阵元就是第一章第 二节中球面镜腔的光线矩阵元A, B, C, D，代入上 面两式，得到第二章第五节结果
高斯光束自再现变换方法求解模式流程
选择初始平面 计算往返一周 A 的变换矩阵 T
C B D
判断腔的稳 定性
A D 1 1 2
选择初始平面距离 光腰距离=Re（q） （实部） 共焦参数=Im（q） （虚部）
计算所选初始平面上自再现 高斯光束的q参数
1 A D i 2 1 ( A D) 2 / 4 ) qM 2C
' M
A B 光线往返矩阵元 T C D
模式自再现
' qM qM
高斯光束在球面谐振腔中的自再现变换
AqM B qM CqM D
( A D) ( A D) 2 4 BC qM 2C
利用矩阵元特性
AD BC 1
( A D) i 1 ( A D) 2 / 4 qM 2C C
自再现法求模式流程
例子
平面镜 YAG晶体， 折射率=1.82 球面镜
R=0.5m
15cm
20cm
5cm
求自再现高斯光束？
第二章 ik U n ( x, y ) 衍射理论 4
1 cos ik ( x , x, y , y ) U ( x , y ) e dxdy n ( x, x, y, y) M1
M1
稳定球面谐振腔
M2
基模：高斯光束 高阶模：厄米-高斯光束或者拉盖尔-高斯光束
RM 2B D A B 1 ( A D)1/ 2 4 1/ 2
1/ 2
出发平面M处的： 等相位面曲率半径 光斑半径 出发平面M处：
1 ( A D) / 4 1 D A i qM 2B B
2
M
qM
( A D) i 1 ( A D) / 4 2C C
L ( R2 L ) z0 2 L R1 R2 L( R1 L)( R2 L)( R1 R2 L) f (2 L R1 R2 ) 2
2
开放球面谐振腔中的自再现模式求解
方法一：用等价共焦腔（衍射理论） 方法一只适用于两球面镜
方法二：用高斯光束自再现变换 方法二适用于更一般结构复杂的谐振腔
腔内有调制器 折叠腔 实际激光器的谐振腔要复杂一些，自再现模求解需要 利用上面小节所介绍高斯光束的ABCD变换概念
高斯光束在球面谐振腔中的自再现变换
初始出发平面M, 高斯光 束从此出发，q参数为
qM
' qM
高斯光束回到初始出 发平面，q参数为 高斯光束ABCD定律
AqM B q CqM D
q参数必须是一个复数
A D 1 所以： 1 2
正是第二章所介绍的稳定性判据
高斯光束在球面谐振腔中的自再现变换
也就是说，如果谢振腔是稳定的，自再现模式q参数必为复数， 其自再现模式为高斯模式； 反之，如果谢振腔是不稳定的，q参数必为实数（球面波曲率 半径），其自再线模式为第二章第六节所介绍的为球面波或平 面波。
2
z0
( A D) 2C
距离光腰百度文库距离
共焦参数
1 ( A D) 2 / 4 f C
高斯光束在球面谐振腔中的自再现变换
例子：稳定球面谐振腔 R1
C1
R2 f
C2
M1 Z1
Z2 M2
如果起始面选在M1镜上，往返矩阵元就是第一章第 二节中球面镜腔的光线矩阵元A, B, C, D，代入上 面两式，得到第二章第五节结果
高斯光束自再现变换方法求解模式流程
选择初始平面 计算往返一周 A 的变换矩阵 T
C B D
判断腔的稳 定性
A D 1 1 2
选择初始平面距离 光腰距离=Re（q） （实部） 共焦参数=Im（q） （虚部）
计算所选初始平面上自再现 高斯光束的q参数
1 A D i 2 1 ( A D) 2 / 4 ) qM 2C
' M
A B 光线往返矩阵元 T C D
模式自再现
' qM qM
高斯光束在球面谐振腔中的自再现变换
AqM B qM CqM D
( A D) ( A D) 2 4 BC qM 2C
利用矩阵元特性
AD BC 1
( A D) i 1 ( A D) 2 / 4 qM 2C C
自再现法求模式流程
例子
平面镜 YAG晶体， 折射率=1.82 球面镜
R=0.5m
15cm
20cm
5cm
求自再现高斯光束？