国家课程校本化：3.2.3 直线的一般式方程(导学案)

3.2.3 直线的一般式方程

一、课标解读

1．知识与技能

（1）明确直线方程一般式的形式特征；

（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；

（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2．过程与方法

学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3．情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；

（2）用联系的观点看问题。

二、自学导引

1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )

A ．－2

B ．2

C ．－3

D ．3

2．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )

A ．C ＝0，

B >0 B ．A >0，B >0，

C ＝0

C ．AB <0，C ＝0

D ．AB >0，C ＝0

3．直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( )

A.32

B.32

或0 C ．0 D ．－2或0 4．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )

A ．3x ＋2y －1＝0

B ．3x ＋2y ＋7＝0

C ．2x －3y ＋5＝0

D ．2x －3y ＋8＝0

5．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．

6．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0互相垂直，则a 的值为________．

答案：1．D 2.D 3.A 4.A 5．－415

6．0或－1 三、典例精析

例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：

(1)斜率为3，且经过点A (5,3)；

(2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴；

(3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；

(4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；

(5)经过C (－1,5)，D (2，－1)两点；

(6)在x 轴，y 轴上截距分别是－3，－1.

解：(1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0.

(2)x ＝－3，即x ＋3＝0.

(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.

(4)y ＝3，即y －3＝0.

(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －－2－－

，即2x ＋y －3＝0. (6)由截距式方程得x －3＋y －1

＝1，即x ＋3y ＋3＝0. 例2 已知直线l 1：(m ＋3)x ＋y －3m ＋4＝0，l 2：7x ＋(5－m )y －8＝0，问当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．

解 当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0.

显然l 1与l 2不平行，同理，当m ＝－3时，l 1与l 2也不平行．

当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧ －(m ＋3)＝7m －53m －4≠85－m ，

∴m ＝－2.

∴m 为－2时，直线l 1与l 2平行．

例3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.

(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；

(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．

(1)证明 将直线l 的方程整理为

y －35＝a (x －15

)， ∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35

)．

而点A (15，35

)在第一象限，故l 过第一象限． ∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．

(2)解 直线OA 的斜率为k ＝35－015

－0＝3.∵l 不经过第二象限，∴a ≥3.

四、自主反馈

1．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是(

)

2．直线ax ＋by ＋c ＝0 (ab ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a ，b ，c 满足( )

A ．a ＝b

B ．|a |＝|b |且c ≠0

C ．a ＝b 且c ≠0

D ．a ＝b 或c ＝0

3．已知A (0,1)，点B 在直线l 1：x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________________．

答案：1．C 2．D 3．x －y ＋1＝0