1.5 完全平方公式1

学
因需要将其边长增加b米。形成四块实验 田，以种植不同的新品种(如图）.
一块边长为a米的正方形实验田，
你能用不同的形 式表示实验田的总面 积,并进行比较吗？
b a a b
探索: 你发现了什么?
法一
直 接 求
总面积 (a+b)2 总面积
b
ab
2 a
2 b
间 接 法二 求
a
ab
b
a2+ ab ab b2. a + + 2=a2+2ab+b2. 等式: (a+b)
2≠a2 + ) 2 ≠a2 ) 2 b 2 b
3.完全平方公式的几何意义？
(a+b)2 = a2+2ab+b2
b
ab
b2
a−b
a−b
b
(a−b)2 ab
a
b(a−b)
a
a2
a
ab
b
a
b
(a−b)2 = a 2− a b − b(a −b) 即 (a−b)2 = a2−2ab+b2
学一学 例题解析(1)
1.5.1 完全平方公式
北师大版数学七年级下 第一章 整式的运算
回顾 & 思考 回顾与思考 导
(a+b)(a−b)= a2 − b2
公式的结构特征:
左边是 两数和与这两数差的积. 右边是 这两数的平方差.
练习：
1.(x + 2y)(x – 2y) =__________________ 2.(–x + y)(–x – y)=
（2）（4x + 5y
)2
(3) (mn−a )2
= (4x)2+2· 5y+(5y)2 = (mn)2−2· a+a2 4x· mn· =16x2+40xy+25y2 解：(1) (2x − 3 2 2x −3)
=
2 − 2 • 2x• 3+ 32 ( 2x )
= m2n2 − 2mna+a2 做题时要边念边写：
例1利用完全平方公式计算（1）(2x−3)2
注意
( a − b )2= a2 −2 a b + b2
先明确用哪个完全平方公式 再把计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b.
( 2 x −3 )2 = (2x)2 −2· 3 + 32 2x·
解：(1) (2x−3)2 =( 2x )2 − 2 • 2x • 3 +32 =4x2 −12x + 9 ;
4.x + x
2
1 +(___) 4
=( x
1 2 +____) 2
5. (a
1 2 −2 b )
=
2 a
+ (__ b) + −a
1 b2 (___) 4
2、计算：
(1)
1 (2
x+
2 2y)
（2）( n – 3m)2 （3） (2xy
1 2 – 5Z)
2+2y )2 （4）（−3x
本节课你的收获等于这两数的平方和 (减去)这两数乘积的两倍. 加上
用自己的语 言叙述上面 的公式
2= 2 +2ab+b2 (a+b) a
2= 2 −2ab+b2 (a−b) a
首平方，尾平方， 两倍乘积放中央， 同加异减看前方。
注意：
1.完全平方公式和平方差公式的 区别！
2. (a + b (a – b
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同． 结果不同：
完全平方公式的结果 是三项， 即 (a + b)2＝a2 + 2ab + b2; (a − b)2＝a2 − 2ab + b2 平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
在解题过程中要准确确定a和b、对照 公式原形的两边, 做到不丢项、不弄 错符号、2ab时不少乘2；首项、末项 被平方时要注意添括号,是运用完全 平方公式的关键.
3.(mn – 3)(mn + 3)= 4.(–2x+y)(2x+y)=
2 y
__________________
2 x 2 x
2 –4y 2 –y
__________________
2n2 m
–9
__________________
2 –4x
学习目标:
1.经历探索完全平方公式的过程， 进一步发展符号感和推理能力。 2.会推导完全平方公式， 并能运用公式进行简单的计算。 2 2 2 3.了解 (a b) a 2ab b 的 几何背景.
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
有时需要进行变形，使变形后的式子 符合应用完全平方公式的条件，即为 “两数和(或差)的平方”，然后应用 公式计算.
纠 错 练 习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
理由: (1) 由加法交换律 4a+l＝l−4a。 (2) ∵ 4a−1＝(4a+1)，
∴(4a−1)2＝[(4a+1)]2＝(4a+1)2.
(3) ∵ (1−4a)＝−(1+4a) ＝(4a−1)， 即 (1−4a)＝(4a−1) ∴ (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)·(4a−1)] [ ＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2。 (4) 右边应为: (4a−1)(4a+1)。
第一数 的平方,
= 4x2 − 12x + 9 ;
减去 第一数与第二数 乘积 的2倍,
加上 第二数 的平方.
练一练（一）
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； 解: (3) (a−1)2＝a2−2a−1.
1）(2a−1)2 =(2a)2−2•2a•1+1=4a2 4a+1; 2）(2a+1)2 =(2a)2+2•2a•1 +1= 4a2 +4a+1;
3）(a−1)2 =(a)2−2•(a)•1+12 =a2+2a+1;
(二)
一. 填空:
练一练 二
4xy 1.( 2x + y)2 = 4x2 + ( _____ ) + y2 5y 10 x y 2.(x − _____)2 = x2 – (_____) + 25y2
3a 6a 3.(___− b )2 = 9 a2 −(___b) + (____)2 b
2=[a+(−b)]2 (a−b)
利用两数和的 平方 推证 = a 2 + 2a (−b)+ (−b)2 = a2 − 2ab + b2.
他是怎么想的? 2= [a+(−b)]2 (a−b)
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2= a2 −2ab+b2 结构特征: 左边是 两数和 (差) 的平方; 右边是 两数的平方和 加上 (减去) 这两数乘积的两倍.
下列等式是否成立? 说明理由． (1) (4a+1)2=(1−4a)2； 成立 (2) (4a−1)2=(4a+1)2； 成立 (3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2； 不成立． (4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 不成立．
拓 展 练 习
动脑筋
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2； 想一想 (a−b)2 = (1) 你能用多项式的乘法法则来 说明它成立吗? (a+b)2 = (a+b)(a+b) 推证 =a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2
动脑筋
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2； 想一想 2 a2 −2ab+b2. (a−b) = (2) 某同学写出了如下的算式:
我有疑问我质疑
作业：
1.必做题： p43习题1.13的1、2；
2.选做题：p43联系拓广1、2； 3.预习p43----p45.