圆锥曲线专题---基本量的计算

第十六讲 圆锥曲线—基本量的计算

编写赵继森审查张瑞翠

高考趋势

理解椭圆的标准方程与几何性质；了解中心在原点的双曲线方程与几何性质；了解中心

在原点的抛物线方程与几何性质（理科附加是理解）。求圆锥曲线的标准方程及利用图形的

几何性质解决综合问题是高考中常考的问题。

考点展示

1.已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆22

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χγ+=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为

2.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>

的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线2

16y x =的焦点相同。则双曲线的方程为 3. 椭圆22

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x y +=上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 的长是 ．

4.已知椭圆22

1x y m n

+=满足条件：,,m n m n +成等差数列，则椭圆离心率为 ； 5.已知椭圆22

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x y +=的左顶点为A 1，右焦点为F 2，点P 为该椭圆上一动点，则当12PA PF •u u u r u u u u r 取最小值时，12PA PF +u u u r u u u u r 的值为 ；

样题剖析

例1．设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)的左右焦点，过F 1作直线与椭圆C 交于A ，B 两点，已知△ABF 2的周长为8b ．

(Ⅰ)求椭圆C 的离心率e ；

(Ⅱ)若椭圆C 的右准线上存在一点M ，使得△F 1F 2M 为等腰三角形，且△F 1F 2 M

的面积为

，求椭圆C 的方程．

例2．一束光线从点1(1,0)F -出发，经直线l:230x y -+=上一点P 反射后，恰好穿过点

2(1,0)F ．

（1）求P 点的坐标；

（2）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；

（3）设点Q 是椭圆C 上除长轴两端点外的任意一点，试问在x 轴上是否存在两定点A 、B ，

使得直线QA 、QB 的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点

A 、

B 的坐标；若不存在，请说明理由．

例3．设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为

32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．

(1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且21 2

ME MF a ⋅=-u u u r u u u r ，求椭圆方程；

(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N 的最远距离不大于，求椭圆C

的短轴长的取值范围．

自我测试 1、椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、A 、H ，则|

|||OH FA 的最大值为 ； 2、已知定点A （3，4），点P 为抛物线y 2

=4x 上一动点，点P 到直线x =－1的距离为d ，则

|PA|+d 的最小值为 ； 3、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 的离心率的取值范围是]2,332[∈e ，则两渐近线夹角的取值范围 ；

4、如图，点A 是椭圆22142x y +=的上顶点，过点A 的直线1:2l y kx =+，21:2l y x k

=+（k ＞0, k ≠1）分别交椭圆于点B ，C ，当k 变化时，求证：（1）直线BC 的斜率小于－2；

（2）直线BC 经过y 轴上的一个定点.

5、已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为

32，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为655

. （1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点E （3，0），设点P ，Q 是椭圆上C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，

求EP u u u r ·QP u u u r 的取值范围