结晶学第六讲—点群(2)

2 (L2)
单 斜 晶 系 主 轴
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
( c)
m (P)
单 斜 晶 系 主 轴
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
( c)
2/m (L2PC)
单 斜 晶 系
主
轴
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
( c)
{M[001]}{2[001]} = {1}
四方双锥晶类
4/m (L4PC)
y
x 4 (S43, Li4); 42 (S42) = 2; 43 (S4); 44 = 1 4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43
C41; C42 = C2; C43; C44 = E; ; i; S43; S4
x
111
111
010
011
001
010
011
y
432 (43, 3L44L36L2)
111 110
111 101
110
100
x
y x
立 方 晶 系
x
没有4次轴！
23 (3L24L3)
{3[111]}{3[111]} = {2[010]}
y
32 (L33L2)
y x
{3[111]}{2[001]} = {32[111]}
xy
(101) (011)
(110) (110)
(111) (111)
(111)
(111)
100 (001)
(010)
(100)
001
010
010
001
001
z
100
010
xy
(101) (011) (110) (110)
100
110
101
110
011
011
011
011
101
110
110
110
(111) (111)
Triclinic
None
2
2
1
Triclinic
Monoclinic
1 twofold axis of rotation or 1 mirror plane
3
13
来自百度文库
2
Monoclinic
Orthorhombic
3 twofold axes of rotation or 1 twofold axis of rotation and two mirror planes.
2/m
mmm
(L2PC) (3L23PC)
y x
4 (L4) 4/m (L4PC) 4mm (L44P)
4/mmm (L44L25PC) 422 (42, L44L2) 4 (Li4) 42m (Li42L22P)
第六讲 点群(II)
符号的顺序
晶系
在国际符号中的位置
1
2
3
三斜 只用一个符号
单斜 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴
全对称点群 1 2/m
mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m
Crystal family Crystal system
Required symmetries of point group
point groups space groups bravais lattices Lattice system
立
方
晶
y
系
x
有4次轴！
m3m (3L44L36L29PC)
立
方
晶
y
系
x
有4次轴！
m3m (3L44L36L29PC) y
x
对称条件
1(E)或1(i)
晶系
特点
三 斜 a≠ b≠ c, ≠≠
2(C2)或2(m)
单 斜 a≠b≠c, = = 90o≠
两个2(C2)或2(m) 正 交 a≠b≠c, = = = 90o
-0 -0 -1
= -1 -0 -0
-0 -1 -0
{2[100]}{3[111]} = {?}
-0 -0 -1 -1 -0 -0 -0 -1 -0
-1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1
-0 -0 -1
= -1 -0 -0
-0 -1 -0
m3 (2/m3, 3L24L33PC)
立
方
晶
6(C6)或6(S35)
四个三次轴
七种晶系
晶系
三斜 单斜
特点
a ≠ b ≠ c, ≠ ≠ a ≠ b ≠ c, = = 90o ≠
正交
a ≠ b ≠ c, = = = 90o
四方
a = b ≠ c, = = = 90o
三方
六方 立方
a = b ≠ c, = = 90o, = 120o
-0 -1 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1
-1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1
-0 -1 -0
= -1 -0 -0
-0 -0 -1
四
4mm (L44P)
方
晶
系
y
x
四
4/mmm (L44L25PC)
方
晶
系
y
x
422 (42, L44L2)
四
方
晶
y
系
x
{4[001]}{2[010]} = {2[110]}
(111) (111)
(111) 010 (111)
001
111 011 111
100
110
010
Cu单晶体的极射赤面投影
100
101
001
110
111
010
011
y
101
100
x
111
110
45o 54o44’ 35o16’ 60o
001
100
010
23 (3L24L3)
y
100
110
110
101
-1 -0 -0
= -0 -1 -0
-0 -0 -1
正
mm2 (mm;L22P)
交
晶
系
y
x
正
mmm (3L23PC)
交
晶
系
y
x
四
4 (L4)
方
晶
系
y
x
4/m (L4PC)
四
方 晶
y
系
x 4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43
{4[001]}{m[001]} = {43[001]}
-0 -1 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1
-1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1
-0 -1 -0
= -1 -0 -0
-0 -0 -1
四 方
4 (Li4)
晶
系
y
x
四
42m (Li42L22P)
方
晶
系
y
x
1 (L1) 1 (C)
2 (L2) 222 (3L2)
m (P) mm2 (L22P)
( b)
2/m (L2PC)
单 斜 晶 系 主 轴
第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)
( b)
222 (3L2)
正
交 晶
y
系
x
{2[001]}{2[100]} = {2[010]}
-1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1
-1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1
y
42m (Li42L22P)
x
6m2 (Li63P3L2)
三 方 晶 系
x
3 (L3)
y
三 方 晶 系
x
3m (L33P)
y
3/m?
三 方 晶 系
x
32 (L33L2)
y
{3[001]}{2[010]} = {2[100]}
-0 -1 -0 -1 -1 -0 -0 -0 -1
-1 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -0 -1
x
y
改成六个面
6/m (L6PC)
六
方
晶
y
系
改成六个面
x
{6[001]}{m[001]} = {35[001]}
-1 -1 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1
-1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1
-1 -1 -0
= -1 -0 -0
-0 -0 -1
6mm (L66P)
六 方 晶 系
正交 2或2沿a
2或2沿b
2或2沿c
四方 4或4沿c 2或2沿a和b
2或2沿a±b
三方 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b
六方 6或6沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b
立方 4、4、2或2
沿<100>
3或3沿<111>
2或2沿<110>
6 (L6)
六 方 晶 系
P
基圆 A
基圆平面
rO p
/2
球面坐标：极距角、方位角。 S
纬线、经线、子午面。
极距角、方位角
球面上大圆的投影
N
球面
N
N
z
xy
S
S
S
基圆
x
y 无需一定是直角坐标！
大圆投影的应用
N
球面
N
N
z
xy
S
S
S
基圆
x
y 无需一定是直角坐标！
N
B
O
A
S
B
B N
A
NA
例：铜单晶体的极射赤面投影
z
(001)
(010) (100)
晶系
晶系是由晶体的对称性来划分的。
各种不同的真旋转和非真旋转操作应用于单胞的 各个轴或点阵平移矢量，对单胞的几何形状(晶胞 参数)产生限制，导致七种晶系，即晶系是对称性 要求的结果。
对称条件
1(E)或1(i) 2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65)
-0 -0 -1 -1 -0 -0 -0 -1 -0
-1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1
-0 -0 -1
= -1 -0 -0
-0 -1 -0
{3[111]}{32[111]} = {?}
-0 -0 -1 -1 -0 -0 -0 -1 -0
-1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1
z’
-0 -0 -1 z
3 (S65, Li3) = 3+C
6 (S35, Li6)
x’
-1 -1 -0 x
y’ = -1 -0 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
6 (S35, Li6) = 3+P
对称操作元素
4 (S43, Li4)
4 (C4, L4)
4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 1 4 (S43, Li4); 42 (S42) = 2; 43 (S4); 44 = 1
结晶学点群：32种
结晶学点群是指一些点对称操作的集合。32种点群 可用来完全描述三维晶体的宏观对称性。
对称操作的一个集合，满足以下四条件，就构成一个
群：
1、封闭性 2、有恒等操作 3、每一个操作都有逆操作 4、操作的乘法满足结合律
1 (L1)
三 斜 晶 系
极射赤面（平）投影
一般形
1 (C)
三 斜 晶 系
-1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1
-1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1
-1 -0 -0
= -0 -1 -0
-0 -0 -1
2 (L2)
单 斜 晶 系 主 轴
第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)
( b)
m (P)
单 斜 晶 系 主 轴
第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)
4(C4)或4(S43)
四 方 a = b≠c, = = = 90o
3(C3)或3(S65) 6(C6)或6(S35)
三方 六方
a = b≠c, = = 90o, = 120o a = b = c, = = 菱形
a = b≠c, = = 90o, = 120o
四个三次轴 立 方 a = b = c, = = = 90o
-1 -1 -0
= -0 -1 -0
-0 -0 -1
三 方 晶 系
x
3 (L3C)
y
三 方 晶 系
x
3m (L33L23PC)
y
y x
复习：
第三讲 晶体投影
意义：1、投影是研究晶体外形和结构
的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达 晶体点群中对称要素的空间分布。
极射赤面投影
球面
N
Op = r tan(/2)
第六讲 点群(II)
复习：
第五讲 点群（I）
1 (E, L1) 2 (C2, L2) 3 (C3, L3)
1 (i, C) 2 (σ, P), m
_, + _, +
3 (S65, Li3)
4 (C4, L4)
4 (S43, Li4)
6 (C6, L6)
6 (S35, Li6)
旋转轴， n
旋转反演轴， n
y
4mm (L44P)
y
x x
6/mmm (L66L27PC)
六 方
4/mmm (L44L25PC)
晶
系
y
y
x x
改成12个面
622 (62, L66L2)
六 方 晶 系
y
x
？
422 (42, L44L2)
y x
6 (Li6)
六 方 晶 系
y
x
4 (Li4)
62m (Li63L23P)
六 方 晶 系
y
系
没有4次轴！
x
{3[111]}{m[001]} = {35[111]}
-0 -0 -1 -1 -0 -0 -0 -1 -0
-1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1
-0 -0 -1
= -1 -0 -0
-0 -1 -0
43m (3Li44L36P)
立
方
晶
y
系
x
没有4次真旋转轴！
432 (43, 3L44L36L2)
360o/n (n = 1,2,3,4,6)
2 (C2, L2)
+ + _
_
+
+ +
+
1 (i, C)
+
x’
-1 -0 -0 x
y’ = -0 -1 -0 y
z’
-0 -0 -1 z
_,
+
_,
+
_,
2 (P), m
,+ +
_ ,+ _, +
3 (S65, Li3)
x’
-0 -1 -0 x
y’ = -1 -1 -0 y
a = b = c, = = 菱形
a = b ≠ c, = = 90o, = 120o
a = b = c, = = = 90o
斜方 长方 有心长方 正方
六角
Oblique, a ≠ b ≠ 90o Rectangular, a ≠ b = 90o
Square, a = b = 90o 60o angle rhombus, Hexagonal, a = b = 120o