高中数学三角恒等变换单元知识整合

张喜林制

单元知识整合

二、本章知识整合1．和角公式

);(sin sin cos cos )cos(βαβαβαβα±=±C );(sin cos cos sin )(βαβαβαβα±±=±S m

s ⋅±=

±±)(tan tan 1tan tan )tan(βαβ

αβ

αβαT

注意：公式βα±T 在2

,2

,2

π

πβαπ

πβπ

πα+

=/++

=/+

=/k k k βα+

， βαπ

πβα-+

=/-T k (2

须满足），z k ∈时成立，否则是不成立的．

．当)tan(

/tan ,tan βαβα±⋅h 的值不存在时，不能使用 βα±T 公式，此时应改用诱导公式或其他方法来解，比如化简),2

tan(βπ

-因为2

tan

π

的值不存在，所以不能用

,βα-T 而应改用诱导公式⋅=-ββπ

cot )2

tan(

2．倍角公式和半角公式(1)倍角公式

);(cos sin 22sin 2ααααS =

);(sin 211cos 2sin cos 2cos 22222ααααααC -=-=-=

⋅-=

)(tan 1tan 22tan 22

αα

α

αT (2)半角公式

;2cos 12sin ;2cos 12

cos

α

ααα

-±=+±

= α

α

ααααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

tan

+=

-=+-±

= 3．积化和差与和差化积公式

(1)积化和差公式

)];cos()[cos(21

cos cos βαβαβα-++=

)];cos()[cos(21

sin sin βαβαβα--+-=

)];sin()[sin(21

cos sin βαβαβα-++=

⋅--+=)]sin()[sin(2

1

sin cos βαβαβα

(2)和差化积公式

;2cos

2sin 2sin φ

θφ

θφθ-+=+m

s

;2sin 2cos 2sin sin φ

θφθφθ-+=-

;2cos 2cos 2cos cos φ

θφθφθ-+=+

⋅-+-=-2

sin 2sin 2cos cos φ

θφθφθ

4．本章和、差、倍、半角等角的三角公式问的关系参考上述结构网络图，

三、规律方法总结

1．求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等． 2．要熟悉角的拆并等变换的技巧，倍角与半角的相对性，如

3

,

)()(),()(2α

ββαββααβαβαα+-=-+=-++=是

32α的半角，2α是4

α

的倍角等． 3．要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角问关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活

地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等· 4．求值的类型：

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式将非特殊角转化为特殊角来求解．

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值，解题关键在于“变角”，

使其角相同或具有某种关系．

(3)“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值，结合该函数的单调区间来求解．

5．灵活运用角的变形和公式的变形，如：-++=αβαα(2)tan tan 1)(tan(

tan tan ),βαβαβαβ-+=+ 等；另外要重视角的范围对三角函数值的影响，注意角的范围的讨论．

6．化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”）．

7．证明三角恒等式时，方法较多，一般有以下几种证明方法：(1)从一边到另一边；(2)左右同一法；(3)作差法．

四、重要专题选讲

1．三角恒等变换的常用方法与技巧 ，(1)切割化弦，

所谓切割化弦就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦、余弦，这样有利于问题的解决或易于发现解决问题的方法， ’

[例1] 已知,2sin log 2θ=siLx 求证：=+)cot (tan log 2x x ⋅+)4

(

cos 22

θπ

[解析]创建利用条件的环境，合理地从一端转化到另一端，要善于盯着目标进行有目的的变形． 证明：

)cot (tan log 2x x +⋅

+=+=x x x

x x x x x cos sin cos sin log )sin cos cos sin (

log 2222 θ2sin 12sin log 12sin 2

log 22

-=-==x x

⋅+=-=)4

(

cos 2)cos (sin 22θπ

θθ

(2)常数的代换．

在三角函数中，“1”的代换有

==+=o x x 45tan 1,cos sin 122,0cos 90sin 45cot ==o

,sec .cos 1,csc .sin 1x x x x == .tan 1x =,tan sec 1,cot 22x x x -=

x x 22cot csc 1-=

等．在具体的变换过程

中，将“l ”作某种合适的变形，往往会收到意想不到的效果．

3

3,22,21,23,

3,1等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数作为三角函数使用，会使解题更加简捷． [例2] 已知,625tan 1tan 1+=-+αα求αα

2cos 2sin 1-的值．

[解析]要求αα2cos 2sin 1-的值，条件

.625tan 1tan 1+=-+α

α

乏非常重要的．从这一条件出发，将a 的某一三角函数值求出，即可获解．