Cantor集与Cantor函数

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Cantor集与Cantor函数

【摘要】：主要介绍Cantor集与Cantor函数的定义、基本性质与其分形【关键词】：Cantor集、Cantor函数、分形

1、Cantor集与Cantor函数的定义

1.1、Cantor集的定义

将基本区间[0，1]用分点1/3，2/3三等分，并除去中间的开区间I11=

下面我们定义如下函数：

f (x )={

0, x =0

2k−1

x ∈I n,k ,1≤k ≤2n−1

,n ≥11, x =1

这个函数f(x)就是Cantor 函数。

2、 Cantor 集与Cantor 函数的基本性质 2.1、Cantor 集的性质

2.1.1、完备性

Cantor 集是完备集：

引理：F ⊂G ，则F 是完备集的充分必要条件是F c =R −F 是至多可数个两两不相交且无公共端点的开区间的并，既

F c =⋃(αk ,βk )k≥1

(αk ,βk )k≥1两两不相交且无公共端点。证明：Cantor 集明显满足上述条件

G=[0,1]\C

故：

R-C=G ∪(−∞,0)∪(1,+∞)

而：

G=(13, 23

)∪(13

2, 23

2)∪(73

2, 83

2)∪(13

3, 23

3)∪(73

3, 83

3)∪(193

3, 203

3)∪(253

3, 26

3)∪......

为两两不相交且没有公共端点的开区间的并。故C 为完备集

2.1.2、Cantor 集是疏集，没有内点

证明：假设x 0是C 的内点，则存在δ>0使得(x −δ,x +δ)⊂G 这样G ∪(x −δ,x +δ)含于[0,1]中且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。

由C =C ̅⟹(C ̅)°=C °=∅⟹C 是疏集。 2.1.3、G=[0,1]\C 是[0,1]中的稠密集

既证明G

̅=[0,1] 证明：易得G

̅⊂[0,1],下证[0,1]⊂G ̅

反证法，任取x ∈[0,1]且x ∉G

̅，则存在x 的一个邻域，其中不含有G 的点。可得这个领域在C 内。又G ̅∈G ，故x ∈C ，所以x 是C 中的内点。与C 是疏集矛盾。所以[0,1]⊂G ̅。故G ̅=[0,1]，G 是[0,1]中的稠密集，证毕。

2.1.4、C 具有连续统势

由上述性质，似乎Cantor 完备集中没有多少点了！但事实上不然，下面证明其有连续统势。

证明：由定理可得，(0,1)与无限n 元数列全体等价。所以，(0,1)中每一点x ，有惟一的一个无限三元数列{a n }n≥1，使

x =

∑a n 3

n ∞n=1 (1)

(79,8

9)中的所有点x 必定a 2=1，I 3,k (1≤k ≤4)中的所有点x 必定a 3=1，等等。即对G 中所有点x ，(1)中所有对应的{a n }中必有等于1的项。因此(1)中仅由0和2构成的无限三元数列{a n }所对应的x 都在C 中。而这样的{a n }全体有连续统势。证毕.

2.2、Cantor 函数的性质

2.2.1、Cantor 函数是[0,1]上的单增函数

由其构造方法易得这个性质，在这里就不证明了 2.2.2、Cantor 函数是[0,1]上的连续函数

引理：f 是[a,b]单增实值函数，f([a,b])是区间[f(a),f(b)]的稠子集，则f 连续

证明：首先证明f 在x=a 连续。由假设知对于任意的ϵ>0，存在y ∈[a,b ]，使得

|f (a )−f(b)|<ϵ

利用f 的单调性知道：当a

ϵ>f (x )−f (a )>0

这样f 在x=a 连续，同理可证明f 在x=b 连续。现在取x 0∈(a,b)我们只要证明：

f (x 0−)=f (x 0)=f (x 0+)

明显：f (x 0−)≤f (x 0+),假如二者不相等，则有f (x 0−)0，使得

f (x 0−)+ϵ0<λ

这个λ∈(f(a),f(b)),但是对于任意的x ∈[a,b ]

|f (a )−λ|≥ϵ0

这和f([a,b])在[f(a),f(b)]中稠密矛盾。同理可证明f (x 0)=f (x 0+)

证明：由于：

f (G )=⋃{2k −1

2n :1≤k ≤2n−1}∞

n=1

故：

f (G )=⋃{2k −1

2n :1≤k ≤2n−1}∞

n=1

在[0,1]中稠密，因此f([0,1])是[0,1]的稠密子集。得用上述引理，f

是[0,1]是的连续函数。

3、借助于Cantor 集，给出一孤立点集，其导集是完备集

Cantor 集C 的余集的构成区间的中点集合是孤立点集且它的的导集是完备

集。

证明：设G=[0,1]\C ，则：