高一数学必修1-函数的单调性和奇偶性的综合应用

高一数学必修1 函数的单调性和奇偶性的综合应用

数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。

1、函数的单调性：应用：若()y f x =是增函数，12()()f x f x > ⇒ 1x 2x 应用：若()y f x =是减函数，12()()f x f x > ⇒ 1x 2x

练习：若()y f x =是R 上的减函数，则(1)f 2(22)f a a ++

2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b =+、k y x =

、2y ax bx c =++ 练习：若()f x ax =，()b g x x

=-在(,0)-∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是 函数（增、减）

3、函数的奇偶性：定义域关于原点对称，()()f x f x -= ⇒ ()f x 是偶函数

定义域关于原点对称，()()f x f x -=- ⇒ ()f x 是奇函数

练习：（1）已知函数21()4f x ax bx a b =+++

是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b

(2)若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。

(3)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f = 。

(4)函数()y f x =的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像

4、单调性和奇偶性的综合应用

【类型1 转换区间】

练习：（1）根据函数的图像说明，若偶函数()y f x =在(,0)-∞上是减函数，则()f x 在(0,)+∞上是 函数（增、减）

(2) 已知()f x 为奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()x =

偶函数奇函数奇函数奇函数

(3)R 上的偶函数在(0,)+∞上是减函数，3()4f - 2(1)f a a -+

(4)设()f x 为定义在（(,)-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为增函数，则(2)f -、()f π-、 (3)f 的大小顺序是（ ）A. ()(3)(2)f f f π->>-

B. ()(2)(3)f f f π->->

C. ()(3)(2)f f f π-<<-

D. ()(2)(3)f f f π-<-<

(5)如果奇函数()f x 在区间[3,7]上的最小值是5，那么()f x 在区间[7,3]--上( )

A. 最小值是5

B. 最小值是－５

C. 最大值是－５

D. 最大值是5

(6)如果偶函数()f x 在[3,7]上是增函数，且最小值是－５那么()f x 在[7,3]--上是( )

A.增函数最小值为－５

B.增函数最大值为－５

C.减函数最小值为－５

D.减函数最大值为－５

(7) 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上()f x 是单调增函数，那么当10x <，20x >且120x x +<时，有（ ）

A. 12()()f x f x ->-

B. 12()()f x f x -<-

C. 12()()f x f x -=-

D. 不确定

(8)如果()f x 是奇函数，而且在开区间(,0)-∞上是增函数，又(2)0f =，那么()0x f x ⋅< 的解是（ ）A. 20x -<<或02x <<

B. 20x -<<或2x >

C. 2x <-或02x <<

D. 3x <-或3x >

(9) 已知函数()f x 为偶函数，x R ∈，当0x <时，()f x 单调递增，对于10x <，20x >，

有12||||x x <，则（ ）

A. 12()()f x f x ->-

B. 12()()f x f x -<-

C. 12()()f x f x -=-

D. 12|()||()|f x f x -<-

5、单调性和奇偶性的综合应用

【类型2 利用单调性解不等式】

相关练习：(1)已知()y f x =是(3,3)-上的减函数，解不等式(3)(2)f x f x +>-

(2)定义在(1,1)-上的奇函数()f x 是减函数，且满足条件(1)(12)0f a f a -+-<，求a 的取值范围。

(3)函数()y f x =是[2,2]-上的偶函数，当[0,2]x ∈时，()f x 是减函数，解不等式(1)()f x f x -<。

(4)已知()f x 是定义在(1,1)-的偶函数，且在(0,1)上为增函数，若(2)(3)f a f a -<-，求a 的取值范围。

(5)已知函数()f x 是R 上的奇函数且是增函数，解不等式(45)0f x -+>。

(6)()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()()x

f f x f y y

=-。①求(1)f 的值；②若(6)1f =，解不等式1(3)()23

f x f +-<。

（7）R +

上的增函数满足()()()f xy f x f y =+，且(8)3f =，解不等式(2)(2)f f x +-≥6。

思考题：

已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，又2(1)3

f =-。 (1) 求(0)f ；

(2)求证()f x 为奇函数；

(3)求证()f x 为R 上的减函数；

(4)求()f x 在[3,6]-上的最小值与最大值；

补充：函数()f x 对任意的m 、n R ∈，都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x >时，()1f x >。(1)求证：()f x 在R 上是增函数；(2)若(3)4f =，求解不等式2(5)2f a a +-<。