直线和抛物线的关系

2 直线和抛物线方程联立的方程组 解的个数与位置关系
若消元得到二次方程,则
0 方程组一组源自文库 相切 0 方程组没有解 相离
若消元得到一次方程，则方程组只有一组 解，直线和抛物线的对称轴平行或重合,为相 交关系.
0
方程组两组解 相交
课堂小结
1、判断直线 L与圆锥曲线C的位置关系时， 可将直线L的方程代入曲线C的方程，消去y 得一个关于变量X的一元方程ax2+bx+c=0
3 5
，
此时 y=1， 所求点的坐标为P(1,1).
另解: 观察图象可知,平移直线至与抛物 线相切,则切点即为所求. 设切线方程为 2x-y+C=0， 联立 y x 2 得 x 2 2x C 0 ()
由 Δ (2)
2
4 (C) 0
得 C=-1
又由（ ）得 x=1，∴y=1. 故所求点的坐标是（1，1）. 点评：此处用到了数形结合的方法.
L3
例1 当b为何值时,直线y= -2x+b与抛物线 x 2 (1)相交,(2)相切,(3)相离? 解：由方程组{
2y
y 2x b 消去 y ，并整理得 2 x 2y
x 2 4x 2b 0
Δ 42 4 (2b) 8(2 b) (1)当 0 即b>-2时，直线与抛物线相交 (2)当 0 即b=-2时，直线与抛物线相切
例3 在抛物线 y x 上求一点，使它到直线 2x-y-4=0的距离最小.
2
解：设P(x,y)为抛物线 y x 上任意一点， 则P到直线2x-y-4=0的距离
2
| 2x y 4 | | 2x x 4 | | (x 1) 3 | d 5 5 5
2 2
当且仅当 x=1 时， d min
(3)当 0即b<-2时，直线与抛物线相离
例2 求过定点P（0，1）且与抛物线 y 2x 只有一个公共点的直线的方程.
2
解: (1)若直线斜率不存在,则过点P的直线方程是 x=0.
x 0 由{ 2 y 2x
x 0 得 { y 0
故直线 x=0与抛物线只有一个交点.
(2)若直线斜率存在,设为k,则过P点的直线方程是 y=kx+1, y kx 1 由方程组 { y 2 2x 消去 y 得
（1）当a ≠0时，则有⊿>0， L与C相交 ⊿=0， L与C相切
⊿<0， L与C相离
（2）当a=0时，即得到一个一次方程，则 L与C相交，且只有一个交点， 此时，若C为双曲线，则L 与双曲线的渐 近线平行； 若C为抛物线， 则L平行于抛物线的对称轴
当直线与双曲线（或抛物线）只有一个公共点时， 直线 与双曲线（抛物线）可能相切，也可能相交。
1 直线和抛物线的位置关系有哪几种?
相交: 直线和抛物线有两个公共点，或一 个公共点(直线和抛物线的对称轴平 行或重合). 相切: 直线和抛物线有且只有一个公共点, 且直线和抛物线的对称轴不平行也 不重合. 相离: 直线和抛物线没有公共点.
1 直线和抛物线的位置关系有哪几种?
y
L2
L1
O L4
x
在讨论直线与圆锥曲线交点个数问题时，不 要仅由⊿来进行判断，一定要注意平方项的系 数对交点的影响。
完成创新作业或优化 设计的对应练习
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容凌娢一副视死如归的样子，“士可杀，不可辱！要杀要刮随你便，总比在这里干活还被人欺负要好。”“干嘛这么激动，我没有生气 啊。”“没有生气还把我搞到这里来刷碗……”慕容凌娢的肚子不争气的叫了起来……(古风一言)点朱砂，笔书华，戎马难忘镜中花。第026章 风俗习惯不同而已“咕噜噜……”“还没吃东西吗？”“这不是废话嘛！”慕容凌娢没好气的说。“给，专门给你留的。”百蝶从袖子中拿出 了一个小布袋，递给了慕容凌娢，“应该还是热着的。”慕容凌娢打开袋子，里面是两个还冒着淡淡热气的馒头。“就只有这个吗？”慕容凌 娢看百蝶的眼神完全变了，她已经被百蝶的食物“驯化”了。“人不要太贪得无厌了，你还想要什么？”“有木有老干妈？辣条也行啊。”慕 容凌娢狼吞虎咽地吃着馒头，还在死皮赖脸的讨价还价。“干吃馒头很不好吃啊。”“那你怎么还吃？”“因为饿。”“你慢慢吃吧，我先回 去了。”百蝶看了看放在慕容凌娢身旁的盘子，“那些被打碎的盘子我就不在追究了，至于其它的盘子和碗……今晚必须刷完。”“嗯……纳 尼？”慕容凌娢赶忙将嘴里的馒头咽了下去，差点没有噎出眼泪来。“百蝶姐姐你……这真的不是我打碎的……”百蝶丝毫不理会慕容凌娢的 解释，头也不回的走了，独自留慕容凌娢在风中凌乱。“笨蛋，白痴，心机girl……”慕容凌娢不停地小声嘀咕，“居然还分楼主，层主，不 就是变向的中二病吗……如果你是楼主，我还是吧主呢！”说归说，慕容凌娢还是得老老实实的刷碗。……(第二天)“天哪，那个小女孩居然 真的把碗给刷完了。”“估计是在这里待了一晚上吧。”“真是太不可思议了！”“……”慕容凌娢依在墙边已经睡着了，根本就没有听见这 些人的议论。“白绫，白绫，醒醒啊！”若曦走过去晃了晃慕容凌娢。“唔……让我再睡一会……”慕容凌娢小声哼唧，以为自己还在家里， 想要再赖会儿床。“白绫，赶快起来吧！”若曦也没有什么办法，只好推了慕容凌娢一下。慕容凌娢刚想要再次入睡，结果身子一歪，倒了下 来。“啊！”慕容凌娢被突然惊醒了，“是谁推我的！”“白绫，对不起呀。”若曦抱歉的说道，“我看你怎么叫也叫不醒，所以就推了你一 下。没摔疼吧？”“没……没事。”慕容凌娢不好意思的笑了笑，“我还以为今天是星期天呢……”“星期天？什么意思？”“这个……这个 是我们那里计算天数的方法。”“原来白绫你不是这里的人啊！”若曦说道，“怪不到感觉你说的话会有些奇怪呢。”“呵呵，是呀，毕竟风 俗习惯都不太一样呢。”慕容凌娢随即编了一个谎。(古风一言)绾青丝，颜影依，绣针可绘情相思。第027章 不敢再想下去“白绫，对不起 呀。”若曦抱歉的
k x 2(k 1)x 1 0
2 2
故直线 y=1 与抛物线只有一个交点 . 当k≠0时，若直线与抛物线只有一个公共点，则
1 此时直线方程为 y x 1. 2
1 Δ 4(k 1) 4k 0, k . 2
2 2
1 当 k=0时，x= ,y=1. 2
1 综上所述，所求直线方程是 x=0 或 y=1 或 y x 1. 2 点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数 形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会 造成漏解。