《建筑力学与结构》压杆稳定的实用计算

《建筑力学与结构》压杆稳定的实用计算

【学习目标】

1、 能深入理解压杆稳定性的概念

2、 能熟练应用压杆的临界力公式—欧拉公式，掌握杆端约束对临界力的影响

3、 能熟练分析压杆的分类与临界应力曲线

4、 能进行压杆稳定的计算，压杆稳定性的校核

课题 7.1压杆稳定的慨念

7．1．1工程实例

（1）内燃机配气机构中的握杆，当推动摇臂打开气阀时就受压力作用。（图7.1） （2）磨床液压装置的活塞杆，当驱动工作台移动时受到压力作用。（图7.2） （3）空气压缩机，蒸汽机的连杆。 （4）桁架结构的某些杆件。（图7.3） （5）建筑物中的柱。

图7.1 图7.2

7.1.2压杆失稳 7.1.2．1失稳

压杆由于不能保持原有的直线平衡状态而丧失工作能力的现象叫做丧失稳定，简称失稳。 横截面相同，材料相同的压杆，由于其长度不同，抵抗外力的性质会发生根本性的变化。

7.1.2．2压杆失稳

压杆由直线形状的稳定平衡而过渡到曲线平衡称为失稳或者屈曲。

7.1.2．3稳定性分析

(1）刚球的稳定性

如物体因受了干扰稍为偏离它原来的平衡位置，而在干扰消除后它能够回到原来位置的平衡状态，就说它原来位置的平衡状态是稳定的。若干扰消除后它不回到原来位置的平衡状态，就说原来位置的平衡状态不稳定。所以一个刚体的稳定性是指它维持其原有位置的平衡状态的能力。

图 7.4

在图7-4中，刚体小球A 、和C 各在重力W 与反力R 作用下处于平衡状态。但是，A 的平衡状态是稳定的，B 和C 的平衡状态却不稳定。因为若分别以微干扰力使三球稍微移动到其邻近位置又撤去干扰力之后，原在谷底A 的球到了A ，因反力不能平衡重力，必滚回谷底A ，最终在A 静平衡。原在峰顶B 的球到了B ，反力和重力的不平衡使它往低处滚，非滚到某一谷底不会停止．绝不可能回到原位置峰顶B 去静平衡。原在C 的球则在干扰力让它到达之处就地静止并平衡。因R 和W 始终在一直线上．

图7-4b 中几条线分别表示山谷、平原、和山峰。谷坡越陡，坡上的球越易回谷底平衡， 因而球在谷底的平衡越稳定．谷坡越平，稳定性越小，谷变为平地，球的平衡的稳定性降为零。平地若变为峰，球在峰顶，其平衡就不稳定了。所以，球在平地的平衡，是稳定平衡与

不稳定平衡的分界，并称为临界平衡或中性平衡。

a '

'

图7.3

桁架结构的某些杆

(2）弹性压杆的稳定性

所谓弹性压杆的稳定性是指弹性压杆在中心压力作用下的直线位形的平衡状态的稳定性；又因弹性体受力后的任一平衡状态都对应着某个唯一的变形状态，所以也是指弹性压杆受压后的轴向缩短的变形状态的稳定性。

设有一两端球铰支座的弹性均质等直杆受毫无偏心的轴向压力作用(这就是所谓的理想压

杆)，杆呈轴向缩短变形状态，如图7.5()。现在要判断这种变形状态(或直线位置的平衡状态)是否稳定。要作这种判断，可加一微小干扰力Ｑ，使杆轴到达一个微弯曲线位置，

（a ） （b ） （c ）

图7.5

如图7-5(b)，然后撤销干扰力，如果杆轴能回到直线位置，则称初始直线位置的平衡状态是稳定的；如果它继续弯曲到一个挠度更大的曲线位置去平衡，则初始直线位置的平衡状态是不稳定的；这就是判别弹性稳定性的静力学准则。如果它停留在干扰力撤销瞬时的微弯曲线的位置不动，则初始直线位置的平衡是临界平衡或中性平衡。事实上，同一杆件其直线位置的平衡状态是否稳定，视所受轴向压力的大小是否超过一个仅与杆的材料、

尺寸、

和支承方式有关的临界值而定。这个取决于杆件本身的定值

，称为压杆的临界力或

临界荷载。设轴向压力

从零逐渐增大，则杆件在直线位置的平衡状态表现为：

当，是稳定的平衡状态； 当，是临界的平衡状态； 当，是不稳定的平衡状态；

当

时，压杆可在直线位置平衡(当它不受干扰时)，又可在干扰给予的微弯曲

a

F

=F cr

F P F Pcr

F Pcr

F P F Pcr P F F Pcr

P F F =

线位置平衡，这种两可性是弹性体系的临界平衡的重要特点。

7.1.3临界压力

当压力达到临界值时，压杆将由直线平衡形态转变为曲线平衡形态。可以认为，使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力即为临界压力。

课题2 7.2 欧拉公式的适用范围

7.2.1两端铰支细长压杆的临界压力

图7.6

1．设两端为球铰的细长压杆处于微弯平衡。选取坐标系如图示。距原点为x 的任意截面的挠度为w ，弯矩的绝对值为Fw ，若取压力F 的绝对值，则w 为正时，M 为负，w 为负时，M 为正，即M 与w 的符号相反。

M=-Fw

∴

引入

则

微分方程的通解为

w=Asinkx+Bcoskx

A 、

B 为积分常数，由边界条件确定。 当 x=0时，w=0，则B=0

Pcr

F EI M

x w =

2

2d d EI Fw x

w -=2

2d d EI F k =

2022

2=+w k x w

d d

当 x=c 时，w=0，则Asinkl=0 讨论：

（1）显然A ≠0，若A=0，则w=0，杆始终为直线，这与微弯假设前提矛盾。 （2）故只有sinkl=0，于是 kl=0，π,2π,3π……或 kl=n π（n=0,1,2……）

故

由

则

由此可见，使曲线保持平衡时，压力为出现多值。使压杆保持微弯平衡时的最小压力即为临各压力。取n=1，则

(7.1)

本节求的方法叫做微分方程法或临界平衡法，其思路是：从临界平衡状态的微弯

曲

线取分离体，建立临界平衡方程，再转换为弹性曲线的微分方程式，在不能让通解的全部

积分常数都等于零的条件下得到稳定方程式，从而得出临界力。 除临界平衡法外还有能量法确定临界力。

式(7.1)是端士科学家L ·欧拉(L.Euler ）在1744年提出的，所以叫做欧拉公式。人们

把两端铰支的理想压杆称为欧拉压杆，称为为欧拉荷载。

7.2.2其它支座条件下细长压杆的临界压力

l n k π=

2

2

22

l n EI F k π==222l EI

n F π=

2

2l EI

F cr π=

Pcr F 2

2l EI

π