第五章__摩擦

平衡必计摩擦
摩擦分类: 摩擦分类: 1. 按接触物体之间的运动情况分： 按接触物体之间的运动情况分： 滑动摩擦和滚动摩阻。 滑动摩擦和滚动摩阻。 2. 按接触面的润滑情况分： 按接触面的润滑情况分： 干摩擦和湿摩擦。 干摩擦和湿摩擦。 研究摩擦的任务： 研究摩擦的任务： 掌握规律，利用其利，克服其害。 掌握规律，利用其利，克服其害。
4.1 滑动摩擦
一、摩擦角
FQ Fs A A FQ Fmax A
ϕ
FN FR FN
ϕf
FR
ϕf ϕf
v v v FR = FN + FS
FR—全约束力 全约束力
Fmax f s FN tan ϕ f = = = fs FN FN
全约束力与法线间的夹角的最大值 称为摩擦角 摩擦角。 全约束力与法线间的夹角的最大值ϕf称为摩擦角。 最大
考虑摩擦时， 考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述 大致相同，但有如下的几个特点： 大致相同，但有如下的几个特点： 分析物体受力时，必须考虑接触面切向的摩擦力F 1．分析物体受力时，必须考虑接触面切向的摩擦力 s。 2．列补充方程，即 列补充方程，
Fs ≤ f s FN
0 ≤ Fs ≤ f s FN
v FQ
4.1 滑动摩擦
2.如果作用于物块的全部 2.如果作用于物块的全部 主动力的合力F 主动力的合力 Q的作用线在摩 之外， 擦角ϕf之外，则无论这个力怎 样小，物块一定会滑动。 样小，物块一定会滑动。
v FQ
4.1 滑动摩擦
12
4.1 滑动摩擦
13
4.1 滑动摩擦
14
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题
∑F
y
= 0 R ⋅ sin(α + ϕ ) − Q = 0
Q R= sin(α + ϕ )
ϕ
∑F = 0
x
S − R ⋅ cos(α + ϕ ) = 0
R
cos(α + ϕ ) S = R ⋅ cos(α + ϕ ) = Q sin(α + ϕ ) 28 = ctg(α + ϕ ) ⋅ Q
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题
/=F max= fsFN
FN′
R o r
l
F′ a FAy A b
FAx
联立求解上述三个方程， 联立求解上述三个方程，得：
P in = m Wr a ( − b) Rl fs
W
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题
例: 已知： 块重 块重Q=2000N，与斜面的摩擦角ϕ =15∘，A块与 已知：B块重 ， ∘ 块与 平面的摩擦系数f=0.4，不计杆自 水 平面的摩擦系数 ， 块不下滑， 重。 求：使B块不下滑，物块 最小 块不下滑 物块A最小 重量。 重量。 研究B块 若使B块 解：①研究 块，若使 块不下滑
sin θ − f s cosθ =P cosθ + f s sin θ
综合上述两个结果可知： 综合上述两个结果可知：F1必须满足如下条件
sin θ − f s cos θ sin θ + f s cos θ P ≤ F1 ≤ P cos θ + f s sin θ cos θ − f s sin θ
=0
∑M
FNB FB
A
l W ⋅ ⋅ cosα min − FB ⋅ l ⋅ cosα min − FN B ⋅ lsinα min = 0 2
1− Байду номын сангаас 2 1− 0.52 得:α min = arctg = arctg = 36 087 ' 2f 2×0.5
FA FNA
注意，由于 不可能大于 注意，由于α不可能大于 90°， 所以梯子平衡倾角α 所以梯子平衡倾角 应满足
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题
y x
再求力F 的最小值。 再求力 1的最小值。
∑ Fx = 0
F'max P F'N
' F1min cosθ − P sin θ + Fmax = 0
∑ Fy = 0
' FN − F1min sin θ − P cosθ = 0
' ' Fmax = f s FN
F1min
静力学
STATICS
摩擦
4
摩 擦
4.1 滑动摩擦 4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题 4.3 滚动摩阻
前面几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的， 前面几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽 略了物体之间的摩擦， 略了物体之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在 一般情况下都存在有摩擦。 的，一般情况下都存在有摩擦。 例:
②再研究A块 再研究 块
∑ F = 0, S '− F = 0, S′ = f ⋅ N = f ⋅ P
x
S ' ctg(α + ϕ ) ctg(30 + 15 ) Q= ∴P = = × 2000 = 5000(N) f f 0.4
° °
y
x
29
4.3 滚动摩阻的概念
下图的受力分析看出 由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力。 由实践可知，使滚子滚动比使它滑动省力。 一个问题，即此物体平衡，但没有完全满足平衡方程。 一个问题，即此物体平衡，但没有完全满足平衡方程。
o
FBy
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题
为对象， 以杆 BC 为对象，由 于不计杆件的重量，该 于不计杆件的重量， 杆为二力杆， 杆为二力杆，即摩擦力 与理想约束力的合力与 铰 C 的约束力均沿杆的 轴线。由图b 的矢量几 轴线。由图 何，有 ： FAx FAy
A
y
C
FC
G
θ
θ
B
x FBx FBx FBy FB
4.1 滑动摩擦
二、自锁现象 物块平衡时， 物块平衡时， 0 ≤ Fs ≤ Fmax
0 ≤ϕ ≤ϕf
全约束力必在摩擦角之内。 全约束力必在摩擦角之内。 由此可知： 由此可知： 1.如果作用于物块的全部主 1.如果作用于物块的全部主 动力的合力FQ的作用线在摩擦角 动力的合力 ϕf之内，则无论这个力怎样大， 之内，则无论这个力怎样大， 物块必保持静止。 物块必保持静止。这种现象称为 自锁现象。 自锁现象。
4.1 滑动摩擦
一、静滑动摩擦力
FN Fs P P FN
F
Fs —静滑动摩擦力，简称静摩擦力。 静滑动摩擦力，简称静摩擦力。 静滑动摩擦力 静摩擦力
∑F
x
= 0,
Fs = F
Fmax—最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力。 最大静滑动摩擦力， 最大静摩擦力。 最大静滑动摩擦力 简称最大静摩擦力
4.1 滑动摩擦
fs是比例常数，称为静摩擦因数。 比例常数，称为静摩擦因数 静摩擦因数。 静摩擦因数的大小需由实验测定。 静摩擦因数的大小需由实验测定。 静摩擦因数的数值可在工程手册中查找。 静摩擦因数的数值可在工程手册中查找。
4.1 滑动摩擦
二、动滑动摩擦力
FN F' P
F
物体开始滑动 F'—动滑动摩擦力，简称动摩擦力。 动滑动摩擦力， 动摩擦力。 动滑动摩擦力 简称动摩擦力 实验表明： 实验表明：动摩擦力的大小与接 触物体间的正压力成正比， 触物体间的正压力成正比，即
FBm = fsBFBy = 75N
A
θ
θ
B
x FBx
FAx FAy
o
FBy
脚端A与B的摩擦力均小于极限静摩擦力，可见折梯处 与 的摩擦力均小于极限静摩擦力， 的摩擦力均小于极限静摩擦力 于平衡的假定成立。 于平衡的假定成立
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题
图示为起重装置的制动器。已知重物重W， 例: 图示为起重装置的制动器。已知重物重 ，制动块与鼓轮 间的静摩擦系数为f ，各部分尺寸如图示。问在手柄上作用的力P至 间的静摩擦系数为 s，各部分尺寸如图示。问在手柄上作用的力 至 少应为多大才能保持鼓轮静止？ 少应为多大才能保持鼓轮静止？ P B
R o r
b W
a A
l
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题
解：以鼓轮为研究对象
∑M
O
= 0 FR − Wr = 0
F R Foy r Fox o W B P
FN P B
再以手柄为研究对象 ′ ∑ M A = 0 Pl + F ′b − FN a = 0 当鼓轮处于临界平衡状态时， 当鼓轮处于临界平衡状态时， 令P=Pmin，由摩擦方程有： ，由摩擦方程有： F =F
o
FBx = FBy tan30o = 72.17 N
再以整体为对象
FBy
∑F = 0
x
FAx − FBx = 0
FAx = FBx = 72.17 N
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题
下面判断系统是否处于静平衡 脚端A 脚端 与B 的极限静摩擦力分别为 ： G y
C
FAm = fsAFAy = 75N
F ' = fFs 式中f是动摩擦因数。 式中 是动摩擦因数。
一般情况下，动摩擦因数小于静摩擦因数， 一般情况下，动摩擦因数小于静摩擦因数，即f<fs。 实际上动摩擦因数还与接触物体间相对滑动的速度大 小有关。但当相对滑动速度不大时， 小有关。但当相对滑动速度不大时，动摩擦因数可近似地 认为是个常数。 认为是个常数。
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题
制动器的构造和主要尺寸如图。 例：制动器的构造和主要尺寸如图。制动块与鼓轮表面间 的摩擦因数为f 试求制止鼓轮转动所必需的力F。 的摩擦因数为 s，试求制止鼓轮转动所必需的力 。
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题
先取鼓轮为研究对象。 解：先取鼓轮为研究对象。
∑M
O1
6
4.1 滑动摩擦
综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况而改 综上所述可知， 但介于零和最大值之间， 变，但介于零和最大值之间，即
0 ≤ Fs ≤ Fmax 实验表明： 实验表明：最大静滑动摩擦力的大小与两物体间的正
压力（即法向约束力）成正比，即 压力（即法向约束力）成正比，
Fmax = f s FN
( F ) = 0 FT r − Fs R = 0 r r Fs = FT = P R R
再取杠杆OAB为研究对象。 为研究对象。 再取杠杆 为研究对象
' M O (F ) = 0 Fa + Fs'c − FNb = 0 ∑
' Fs' ≤ f s FN
得 所以
f s aF F ≤ b − fsc
' s
由于物体平衡时摩擦力有一定的范围， 3．由于物体平衡时摩擦力有一定的范围，即
所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个 所以有摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围， 确定的值。 确定的值。
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题
物体重为P， 的斜面上， 例：物体重为 ，放在倾角为θ的斜面上，它与斜面间摩 擦因数为f 当物体处于平衡时，试求水平力F 的大小。 擦因数为 s。当物体处于平衡时，试求水平力 1的大小。
FNB FB FA FNA
20
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题
∑F =0 ∑F = 0
x
FN B − FA = 0
FN A + FB − W = 0
F = f ⋅F A A N
y
FB = f ⋅ FN B
解得： 解得：
W fW W FN A = , FNB = , FB =W − 2 2 1+ f 1+ f 1+ f 2
G
A
θ
θ
B
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题
以整体为对象， 解：以整体为对象，令等边三角形的边长为 b。
∑MA = 0
bFBy − 0.25bG = 0
G
y
C
FBy = 0.25G =125N
∑F
y
= 0 FAy + FBy − G = 0
A
FAy = G − FBy = 375N
θ
θ
B
x FBx
FAx FAy
36087' ≤α≤900
21
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题 图示一折叠梯放在地面上,与地面的夹角 例: 图示一折叠梯放在地面上 与地面的夹角θ = 60o 。
脚端A与 和地面的摩擦因数分别为 脚端 与B和地面的摩擦因数分别为 f sA = 0.2, f sB = 0.6 在折叠梯的AC侧的中点处有一重为 侧的中点处有一重为500N的重物。 的重物。 。在折叠梯的 侧的中点处有一重为 的重物 不计折叠梯的重量,问它是否平衡 如果平衡， 问它是否平衡？ 不计折叠梯的重量 问它是否平衡？如果平衡，计算两 脚与地面的摩擦力。 脚与地面的摩擦力。 C
rP(b − f s c) F≥ f s Ra
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题
梯子长AB=l，重为 ，若梯子与墙和地面的静摩 例: 梯子长 ，重为W， 擦系数f 多大时， 擦系数 =0.5, 求α多大时，梯子能处于平衡状态？ 多大时 梯子能处于平衡状态？ 以梯子为研究对象，画受力图。 解：以梯子为研究对象，画受力图。
y x
解：取物块为研究对象。 取物块为研究对象。 先求力F 的最大值。 先求力 1的最大值。
Fmax P FN
∑F ∑F
x
=0
F1max cosθ − P sin θ − Fmax = 0
y
=0
FN − F1max sin θ − P cosθ = 0
Fmax = f s FN
解得
F1max
sin θ + f s cos θ =P cos θ − f s sin θ