高等数学二次曲面ppt

（熟知这几个常见曲面的特性）
• 17
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得中心在原点的双曲线.
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
• 14
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
• 15
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
双叶双曲面
o
y
x
• 16
二、小结
椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
•9
椭圆抛物面的图形如下：
z
z
o y
x
p 0, q 0
xo
y
p 0, q 0
• 10
特殊地：当 p q时，方程变为
x2 y2 z ( p 0) 旋转抛物面 2p 2p
（由 xoz 面上的抛物线 x2 2 pz 绕它的轴
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
•7
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为椭圆.
x2

2
pz1

y2 2qz1

1
z z1
当 z1变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为圆.
x2

y2

2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
• 11
x2 y2 z（ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：
设 p 0, q 0
z
图形如下：
椭球面与 三个坐标面 的交线：
z
o
x
y
•3
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆

a 2

c
2
x2 (c2
z12
)

b2 c2
y2 (c2
z12
)

1
z z1
| z1 | c
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆.
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
(c
2
z12 ).
z z1
(2) a b c,
x2 a2

y2 a2

z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
•6
（二）抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 （1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
•4
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2

y2 a2

z2 c2

1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2

z2 c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2

z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1
的交线为圆.
•5
截面上圆的方程

x
2


y2

a c
2 2
截得抛物线
x2 2 pz
y 0
•8
与平面 y y1 的交线为抛物线.

x
2


2
p
z

y12 2q

y y1
它的轴平行于 z 轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
均可得抛物线.
o y
x
• 12
（三）双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截 截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
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与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2

a
2

y2 b2
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1
z12 c2
z z1
当 z1变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
二次曲面
椭球面 抛物面 双曲面
一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
•2
（一）椭球面