12)动能定理

dT W i
质点系动能定理 （微分）
质点系动能的增量等于作用在质点系全部力 （包括内力）所作的元功之和 两边积分： T2 T1 W
i
质点系动能定理 （积分）
质点系在运动的某个过程中，起点和终点动能的 改变量等于作用于质点系的全部力所作的功之和
第十二章 动能定理
3、理想约束及内力作功
第十二章 动能定理
几种常见的势能
1、重力场中的势能
2、弹性力场的势能
V mgdz mg z z0
z0 z
k 2 k 2 2 V 0 2 2 0 0
3、万有引力场的势能
A0 fm1m2 V F dr er dr 2 r1 A A r r 1 1 fm1m2 1 fm1m2 dr fm m 1 2 2 r r r r1 r
第十二章 动能定理
习题12-1 已知AB杆长度为l，质量为m，从铅垂位置无初 速度倒下，不计摩擦，求杆到达地面时的角速度以及 地面的约束力
A y
C
B
O
第十二章 动能定理
x
习题12-2 已知鼓轮O上有一常力偶M，滚轮 O 沿斜面
作纯滚动，两轮半径均为R，质量均为m，不计滚阻
力偶，求鼓轮的角加速度及轴承O的约束力
z2 z1
M2
M1
F dx F dy F dz
x y z
z
M1
Fx Fy 0 Fz mg
z1
O
mg
z2
W12 mgdz mg z1 z2
x
第十二章 动能定理
M2
y
对于质点系，重力作功之和：
W
12
mi g zi1 zi 2 mg zC1 zC 2
第十二章 动能定理
§12-5 势力场· 势能· 机械能守恒定律
1、势力场
如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和 方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间
称为力场 如果物体在力场内运动，作用于物体的力所作的
功只与力作用点的始末位置有关，而与该点的轨迹 形状无关，这种力场称为势力场（保守力场）
mzC mi zi
质点与质点系的重力作功仅与质点或质心运动的 始末位置高度差有关，与运动轨迹的形状无关 2、弹性力的功 F k F k l0 r er A2 A2 W12 F dr k l0 r er dr A1 A1 r 1 er dr dr d r r dr r 2r
= 45o ，求此瞬时A的加速度
B
C
m1 g

A
m2 g
第十二章 动能定理
§12-4 功率· 功率方程· 机械效率
1、功率
单位时间内力所作的功称为功率
dt dr PF F v Ft v dt
P
W
W F dr
功率等于切向力与力作用点速度的乘积 可见功率一定，速度越小则产生的力越大
第十二章 动能定理
O1
ri
vi
mi

O

3、平面运动刚体的动能

vC
P
若P为瞬心，C为质心
C
1 J P 2 2 J P J C md 2 T T
d
1 1 1 2 J C md 2 2 J C 2 m d 2 2 2 1 1 2 T J C mvC 2 2 2
dr vdt
1 d mv 2 W 2
动能定理（微分）
质点动能的增量等于作用在质点上力的元功
第十二章 动能定理
两边积分：

v2
v1
1 2 d mv W12 2
动能定理（积分）
1 1 2 mv2 mv12 W12 2 2
在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量 等于作用于质点的力作的功
理想约束
F
O
约束力作功为零的约束
B
vB
F2
F
F
A
O
F
B
F1
A
vA
光滑铰链
不可伸长细绳
刚性二力杆
摩擦力一般作负功，纯滚动时的静摩擦力不作 功，因此纯滚动的接触点为理想约束
第十二章 动能定理
一些内力虽然等值反向，但是作功之和并不为零：
1、相互吸引或排斥的两个质点 2、发动机气缸内气体对缸体的作用力都是内力， 但作功之和不为零，汽车动能增加 3、机器轴承等机构之间摩擦力是内力，作负功 结论：理想约束的约束力不作功；刚体所有 内力作功之和等于零，而质点系的内力作功之 和并不一定等于零
C1
1
第十二章 动能定理
例题12-1
细线一端固定在墙上，另一端绕在圆轮C上，
轮沿斜面下滑s距离，计算轮子所受外力的功
S
C
C

第十二章 动能定理
§12-2 质点和质点系的动能
1、质点的动能
动能 T 动量
1 mv 2 2 P mv
标量 矢量
机械运动两种 不同的度量
2、质点系的动能
1 T mi vi 2 2 刚体作为特殊的质点系，其动能应按照具体的
第十二章 动能定理
F
dr
1
A1

A
r
O
r 1
l0 r2
2
A2
W12 k l0 r dr
r2 r1
k k 2 2 2 l0 r1 l0 r2 1 22 2 2
弹性力作功只与弹簧在始末位置的变形量有关， 与力的作用点轨迹形状无关
2、质点系的动能定理
1 2 质点系内任一质点： d mi vi Wi 2 1 1 2 2 d m v d m v i i i i Wi 2 2
第十二章 动能定理
1 质点系的动能： T mi vi 2 2
第十二章 动能定理
§12-1 力的功
力的功是力沿路程累积效应的度量
ds
M1
M
dr
M'
W F cos s
F
M2

其中θ为力与位移方向之间的夹角 s是力F作用的路程，功是代数量

曲线运动时在无限小位移中力所作的功称为元功，记为 W
W F cos ds
则力在全路程所作的功 W F cos ds
T2 T1 W i
质点系动量守恒定律
外力主矢（投影）= 0，质点系动量 （该轴）保持不变
质心运动守恒定律
外力主矢（投影）= 0，质心的位置
（该轴）保持不变
质点系动量矩守恒定律
外力对点（轴）主矩= 0，质点系对
该点（轴）的动量矩保持不变
仅在有势力作用下运动时，质点系 的机械能保持不变
机械能守恒定律
第十二章 动能定理
例题12-3 半径为R的均质圆盘质量m，外缘缠绕细绳一端 固定在墙上，盘心作用一水平力F，已知盘与地面 动摩擦因数 f，初始静止，求当质心C移动距离为s 时，圆盘的角速度、角加速度及质心C的加速度
A
C
R
F
第十二章 动能定理
例题12-4 均质直杆AB长为l ，质量 m1，上端靠在光滑的墙上， 下端与均质圆轮铰接，圆轮半径R，质量 m2 ，在粗 糙水平面上作纯滚动，初始系统静止，夹角
第十二章 动能定理
2、势能
在势力场中，质点从点 M运动到任选点 M 0 ，有势
力所作的功称为质点在点 M 相对于点 M 0的势能
V
M0
M
M0 F dr Fx dx Fy dy Fz dz
M
点 M0 的势能等于零，称为零势能点，在势力场中，
势能的大小是相对于零势能点而言的，零势能点可 以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同 一位置的势能可有不同的数值
动量矩定理

e dp Fi dt e maC Fi
e d LO M O Fi dt J O M O F


e maC F
J C M C

e F
动能定理
第十二章 动能定理
F
F3 F2 F1
O
1 2 3

1 A12 F1 F2 2 1 2 Fi k i k 2 1 2 1 2 k 22 12 W12 2
第十二章 动能定理
3、定轴转动刚体上作用力的功
z
F
Ft F cos
W12 T1 V1 T2 V2
第十二章 动能定理
机械能耗散
例题12-5 滑轮D匀速转动，质量为m的重物以速度v下降， 已知钢索弹性系数为k ，求当滑轮突然被卡住后钢
索的最大张力
v
D
mg
第十二章 动能定理
§12-6 普遍定理的综合应用
动量定理

质点（系）动量定理 质心运动定理 质点（系）动量矩定理 刚体定轴转动微分方程 刚体平面运动微分方程 质点（系）动能定理
第十二章 动能定理
机械运动 状态的 变化规律
矢量法
能量法
动量定理 动量矩定理
动能定理
动量定理和动量矩定理可以完整描述外力系对质 点系的效应，因此也称为完备定理；但它不能反映 内力产生的效应
动能定理则揭示了质点系动能的改变量与作用力
的功（包括内力）之间的关系 ，同时它还能建立机 械运动与其他形式运动之间的联系
0 s
第十二章 动能定理
元功也可以写成矢量形式： W F dr M2 W F dr
M1
在直角坐标系中的投影式： F Fxi Fy j Fz k dr dxi dyj dzk
W12
几种常见力作功的计算 1、重力的功
运动形式分类计算
第十二章 动能定理
1、平移刚体的动能
1 1 2 1 2 T mi vi vC mi mvC 2 2 2 2
2、定轴转动刚体的动能
z
1 1 2 2 2 T mi vi mi ri 2 2 1 2 2 mi ri 2 m r i i Jz 2 1 J z 2 2
第十二章 动能定理
对于机械功率： Pi P輸入 P有用 P無用
dT dt
P輸入
dT P無用 P有用 dt
3、机械效率
有效功率 机械效率
dT P有效 P有用 dt P有效 P有效 1 P輸入 P無用 P有效
对于n级传动的系统： 1 2…n


平面运动刚体的动能，等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和
第十二章 动能定理
例题12-2 已知均质圆轮半径为r，质量m，质心速度v ， 均质杆长为l，质量m，角速度ω，求系统总动能
O
v
r
l
C

第十二章 动能定理
§12-3 动能定理
1、质点的动能定理
dv 质点运动微分方程： m F dt dv m dr F dr dt mv dv F dr
2
ds Rd
O1
W Ft ds Ft Rd M z d
W12 M z d
1

Ft
r
O
A
4、平面运动刚体上力系的功
将力系向刚体的质心简化为一个力和一个力偶 力系所作元功为： W FR drC M C d C2 2 drC M C d W12 FR
第十二章 动能定理
对于转动刚体： P W M z d M z dt dt
转动刚体上力的功率等于该力对转轴的矩 与角速度的乘积
2、功率方程
质点系动能定理微分形式： dT W i
Wi dT Pi dt dt
Leabharlann Baidu
功率方程
质点系动能对时间的一阶导数，等于作用 于质点系的所有力的功率的代数和
A0
第十二章 动能定理
3、机械能守恒定律
质点系在某瞬时的动能与势能的代数和称为机械能 根据动能定理： T2 T1 W12 如果系统运动只有势力作功： W12 V1 V2
T1 V1 T2 V2
质点系仅在有势力作用下运动时，其机械 能保持不变，此类质点系称为保守系统 摩擦力是非保守力，非保守系统的机械能不守恒
M
O
O

第十二章 动能定理
习题12-3 已知杆长 l ，质量m，求绳子剪断瞬间O处的 约束力以及杆转过角度θ时 O的约束力