差商及其性质

的线性组合，即
f
x0 , x1,, xk
k

f (xj)
j0 ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j1 )(x j x j1 )( x j xk )
k

j0
k
f (xj)
k

f (xj)
( x j xi ) j0 k 1 ( x j )
(
xj

x1)( x j

f (xj) xj1)(xj
x j1)( x j

xn1 )
假设当k n时成立，即有
f [x0，x1，xn]
n
j0 (xj

x0 )( x j

f (xj) xj1)(x j

x j1)( x j

xn )
f
[ x1，x2， xn1 ]
n1

f (xj)
j0 ( x j x0 )(x j x1)( x j x j1)(x j x j1)( x j xn1)
#
3 差商表
表2.4
xi
f (xi )
(0 阶差商)
x0 f (x0)
一阶差商 二阶差商
三阶差商
k 阶差商
x1 f (x1)
x2 f (x2)
§4 差商与牛顿插值多项式
4.1 差商（均差）及性质
1 差商（均差）
则
已知y =
f ( x)在
f (x
x0
)
,
函数表
x1 ,x1 ,
x f (x)
x2 ,
x0 f (x0 )
, xn1
,
xfn(xx1上1 ) 平 均变f (x化xnn )率(分xi别 为x j：,当（i4.1）j)

f (x0)
)
xn1 x0 ( xn1 x1)( xn1 x2 )( xn1 xn ) ( x0 x1)( x0 x2 )( x0 xn )
n

f(xj)
( x j x0 ) ( x j xn1)
j1 xn1 x0 ( x j x0 )(x j x1)( x j x j1)(x j x j1)( x j xn1)
f xk , x j , xi f xk , xi , x j
共6个
分析 ：
f
x0 , x1,, xk
k

f (xj)
j0 ( x j x0 )(x j x1 )( x j x j1 )(x j x j1 )( x j xk )
当k
f (x)
f [x j , xk ] f [xi , x j ], xk xi
称为y = f ( x) 在点 xi , x j , xk 的二阶差商（二阶均差）；
n－1阶 差商
（3）一般由函数y= f ( x) 的n－1阶差商表可定义函数的n阶差商。
即
f [x0 , x1 ,, xn ] [x0 , x1 ,, xn ] f（x）
i0
（2）k
阶差商
f
x0
,
x1
i j
,, xk

关于节点
x0
,
x1
,,
xk
是对称的，或说
均差与节点顺序无关，即
f x0, x1,, xk f x1, x0,, xk f xk , xk1,, x0
例如：f xi , x j , xk f xi , xk , x j , f x j , xi , xk f x j , xk , xi

n1 j 1
(xj

x1)( x j

f (xj) xj1)(xj
x j1)( x j

xn1 )
则由定义
f [x0, x1,, xn，xn1]
f x1, x2 , xn1 f x0 , x1,, xn xn1 x0
1(
f (xn1)
ff x1 , x2 ,,xxnn f xx00,, xx11,,,,xxnn11
xn x0
称为函数y= f ( x) 在 x0 , x1,, xn 点的n阶差商（n阶均差）。
2 基本性质
定理5（1）f ( x) 的k阶差商 f x0, x1,, xk 是函数值 f (x0 ), f (x1 ),, f (xk )
f
x0 , x1

f ( x1 ) f ( x0 ), x1 x0
f
x1, x2

f ( x2 ) f ( x1 ), x2 x1
，f
xn1, xn

f ( xn ) f ( xn1 ). xn xn1
即有定义：
定义为f(x) 的差商
定义4（1）对于[ xi , x j ] ，称
=1时,f
[ x0，x1
]

f (x0 ) x0 x1

f (x1 ) x1 x0

f
x0 , x1

f (x1 ) f (x0 ) x1 x0
(1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1)
证明：（1）当k =1时, f x0 , x1
假设当k n时成立，即有
f
xi , x j

xi , x j
f (x)
f ( x j ) f ( xi ), x j xi
为函数 f ( x) 在 xi , x j 的一阶差商（一阶均差）；
（2）由函数y= f ( x) 的一阶差商表，再作一次差商，即
f
xi , x j , xk

xi , x j , xk
x3 f (x3)
x4 f (x4)

xk f (xk )


f [x0, x1] f [x1, x2] f [x0, x1, x2]
f [x2, x3] f [x3, x4]

f [x1, x2, x3] f [x2, x3, x4]

f [xk1, xk ] f [xk2, xk1, xk ]

f
Байду номын сангаас
(x1 )
f
(
x0
)
f (x0 )
f (x1 )
x1 x0
x0 x1 x1 x0
f [x0，x1，xn]
n j0
(xj

x0 )( x j

f (xj) x j 1 )( x j

x j1)( x j

xn )
f
[ x1，x2， xn1 ]

n1 j 1